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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Euklidischer Algorithmus
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Euklidischer Algorithmus: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Fr 01.05.2009
Autor: T_sleeper

Aufgabe
Es sei [mm] R=\mathbb{F}_{2}[T] [/mm] und [mm] a=T^{7}+T^{5}+T^{4}+1 [/mm] und [mm] b=T^{5}+T^{3}+T^{2}+1. [/mm]

Man soll mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den ggT d bestimmen und d in der Form d=ua+vb mit [mm] u,v\in [/mm] R schreiben.

Hallo,

ich hab bei der Aufgabe mal folgendermaßen angefangen:
[mm] T^{7}+T^{5}+T^{4}+1=T^{2}(T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)+(-T^{2}+1) [/mm]

Als nächstes muss ich [mm] T^{5}+T^{3}+T^{2}+1 [/mm] als Produkt von [mm] -T^{2}+1 [/mm] darstellen und da ergibt sich bei mir ein Problem. Dafür muss ich doch

[mm] (T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)/(-T^{2}+1) [/mm] berechnen. Ich komme da allerdings nur so weit:

[mm] (T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)/(-T^{2}+1)=-T^{3}. [/mm]

[mm] \underline{-(-T^{5}-T^{3})\,\,\,\,\,\,} [/mm]

[mm] 2T^{3}+T^{2}+1 [/mm]

Wie man jetzt sieht bleibt bei der Division nach dem ersten Schritt [mm] 2T^{3} [/mm] über. Aber als Koeffizient darf doch später keine 2 vorkommen, da ich mich im [mm] \mathbb{F}_{2} [/mm] befinde. Ich dachte erst, dass ich das dann gleich null setzen muss, aber dann passt garnichts mehr.
Wie muss ich [mm] T^{5}+T^{3}+T^{2}+1 [/mm] also als Produkt von [mm] -T^{2}+1 [/mm] darstellen?

        
Bezug
Euklidischer Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Fr 01.05.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

Als erstes: Im Ring [mm] \IF_{2} [/mm] gibt es nur die Zahlen 0 und 1. Demzufolge kannst du jedes "minus" getrost durch ein "plus" ersetzen. Es ist also auch [mm] (-T^{2}+1) [/mm] = [mm] (T^{2}+1) [/mm] und somit

[mm] $(T^{5} [/mm] + [mm] T^{3} [/mm] + [mm] T^{2}+1) [/mm] : [mm] (T^{2}+1) [/mm] = [mm] T^{3} \mbox{ Rest } T^{2} [/mm] + 1$

Man kommt also letztendlich darauf, dass der $ggT = [mm] T^{2}+1$ [/mm] ist.

Viele Grüße, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Euklidischer Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Fr 01.05.2009
Autor: T_sleeper

Oh stimmt. Dann ist das aber eine sehr kurze Rechnung.
Dann kommt als nächster Schritt also [mm] T^{5}+T^{3}+T^{2}+1=(T^{3}+1)(T^{2}+1). [/mm] Jetzt hat man bereits den ggT.

Wenn ich das dann in der Form d=ua+vb darstelle müsste das so aussehen:
[mm] T^{2}+1=1\cdot(T^{7}+T^{5}+T^{4}+1)+T^{2}(T^{5}+T^{3}+T^{2}+1) [/mm]

richtig?

Bezug
                        
Bezug
Euklidischer Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Fr 01.05.2009
Autor: MathePower

Hallo T_sleeper,


> Oh stimmt. Dann ist das aber eine sehr kurze Rechnung.
>  Dann kommt als nächster Schritt also
> [mm]T^{5}+T^{3}+T^{2}+1=(T^{3}+1)(T^{2}+1).[/mm] Jetzt hat man
> bereits den ggT.
>  
> Wenn ich das dann in der Form d=ua+vb darstelle müsste das
> so aussehen:
>  
> [mm]T^{2}+1=1\cdot(T^{7}+T^{5}+T^{4}+1)+T^{2}(T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)[/mm]
>  
> richtig?


Ja. [ok]


Gruß
MathePower

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