Euler-Larange Bewegungsgleich. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 28.01.2014 | | Autor: | tntwist |
| Aufgabe | Wir betrachten eine Masse m, die sich über der xy-Ebene auf dem Graphen der glatten Funktion f :
R2 → R bewegt (also eine reibungsfreie Kugel auf einem welligen Billardtisch). Bezeichnen wir mit g die
Erdbeschleunigung, so sind kinetische und potentielle Energie gegeben durch:
T(x, y, x' , y') [mm] =\bruch{m}{2}(x'^{2} [/mm] + [mm] y'^{2}+(f_x(x, [/mm] y)x' + [mm] f_y(x, y)y')^{2}) [/mm]
U(x, y) = gmf(x, y)
Aufgabe 1. Bestimme die Euler-Lagrange Bewegungsgleichungen der Kugel.
Aufgabe 2.Zeige, daß die ruhende
Kugel an einem Punkt [mm] (x_0, y_0) [/mm] genau dann im Gleichgewicht ist, wenn [mm] f_x(x_0, y_0) [/mm] = [mm] f_y(x_0, y_0) [/mm] = 0 ist. |
Hi Leute,
ich habe L = T-U berechnet:
L(x,y,x',y') = [mm] \bruch{m}{2}(x'^{2} [/mm] + [mm] y'^{2}+(f_x(x, [/mm] y)x' + [mm] f_y(x, y)y')^{2}) [/mm] - gmf(x,y).
Nun wollte ich gerne die DGLS für x und y bestimmen mit:
[mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial x'} [/mm] = [mm] \bruch {\partial L}{\partial x}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial y'} [/mm] = [mm] \bruch {\partial L}{\partial y}
[/mm]
Bei der Berechnung der einzelnen Ableitungen stecke ich fest...Wie behandle ich [mm] f_x(x,y),f_y(x,y) [/mm] und f(x,y) hier?
Danke im vorraus
Gruß tntwist
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da f unabhängig von der Zeit und x', y' ist ist, ist die Ableitung von [mm] f_x [/mm] nach x [mm] f_{xx} [/mm] die Ableitung nach und x' 0 entsprechend bei y
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 28.01.2014 | | Autor: | tntwist |
> Hallo
> da f unabhängig von der Zeit und x', y' ist ist, ist die
> Ableitung von [mm]f_x[/mm] nach x [mm]f_{xx}[/mm] die Ableitung nach und
> x' 0 entsprechend bei y
> Gruß leduart
Danke dafür.
Ich habe dann jetzt:
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x'} [/mm] = mx'
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}*(f_{xx}x'+f_{yx}y')^{2}-mgf_{x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y'} [/mm] = my'
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}*(f_{xy}x'+f_{yy}y')^{2}-mgf_{y}
[/mm]
Kann ich damit jetzt weiter rechen um die DGLs für die Euler-Larange
Bewegungsgleichung zu ermitteln?
Gruß tntwist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke dafür.
>
> Ich habe dann jetzt:
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x'}[/mm] = mx'
falsch da stand doch noch [mm] f_x*x' [/mm] wo ist das geblieben?
bitte schreib dein L immer dazu, das geht mit past ja leicht, sonst muß ich immer 2 Seiten aufmachen um zu kontrollieren.
das dL/dy' ist damit auch falsch, den Rest kontrolliere ich , wenn L dabei steht.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 28.01.2014 | | Autor: | tntwist |
> bitte schreib dein L immer dazu
L(x,y,x',y') = $ [mm] \bruch{m}{2}(x'^{2} [/mm] $ + $ [mm] y'^{2}+(f_x(x, [/mm] $ y)x' + $ [mm] f_y(x, y)y')^{2}) [/mm] $ - gmf(x,y).
> > [mm]\bruch{\partial L}{\partial x'}[/mm] = mx'
> falsch da stand doch noch [mm]f_x*x'[/mm] wo ist das geblieben?
Stimmt ich hab das wohl ebend weg gelassen.
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x'}= m(x'+f^{2}_{x}x' +f_{x}f_{y}y')
[/mm]
Analog wäre dann für y' :
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y'}= m(y'+f^{2}_{y}y' +f_{x}f_{y}x')
[/mm]
Wäre das so nun korreckt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> L(x,y,x',y') = [mm]\bruch{m}{2}(x'^{2}[/mm] + [mm]y'^{2}+(f_x(x,[/mm] y)x' +
> [mm]f_y(x, y)y')^{2})[/mm] - gmf(x,y).
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x'}= m(x'+f^{2}_{x}x' +f_{x}f_{y}y')[/mm]
> Analog wäre dann für y' :
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial y'}= m(y'+f^{2}_{y}y' +f_{x}f_{y}x')[/mm]
>
> Wäre das so nun korreckt?
Ja, ausser dass korreckt nicht korrekt ist (-;
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 28.01.2014 | | Autor: | tntwist |
So ich hab die Aufgabe jetzt mal überarbeitet und einige Fehler gefunden.
Ich komme nun zu folgenden Schlüssen:
[mm] L=\bruch{m}{2}(x'^{2}+y'^{2}+f^{2}_{x}x'^{2}+f^{2}_{y}y'^{2}+2f_{x}f_{y}x'y')-gmf
[/mm]
[mm] L_{x'}=m(x'+f^{2}_{x}x'+f_{x}f_{y}y')
[/mm]
[mm] L_{x}=m(f_{x}f_{xx}x'^{2}+f_{y}f_{yx}x'^{2}+f_{xx}f_{y}x'y'+f_{x}f_{yx}x'y')-gmf_{x}
[/mm]
Aus [mm] \bruch{d}{dt}L_{x'}=L_{x} [/mm] folgt:
x'' = [mm] f_{x}f_{xx}x'^{2}+f_{y}f_{yx}x'^{2}+f_{xx}f_{y}x'y'+f_{x}f_{yx}x'y'-gf_{x}-f^{2}_{x}x'-f_{x}f_{y}y'
[/mm]
Damit habe ich dann die Euler-Larange Bewegungsgleichung für x.
Zu Aufgabe 2:
Nun setze ich [mm] x_{0},y_{0} [/mm] mit [mm] f_{x}(x_{0}, y_{0}) [/mm] = [mm] f_{y}(x_{0}, y_{0}) [/mm] = 0 in x'' ein:
x'' = [mm] 0f_{xx}x'^{2}+0f_{yx}x'^{2}+f_{xx}0x'y'+0f_{yx}x'y'-g0-0^{2}x'-00y' [/mm] = 0
Analog verfahre ich für y und es kommt auch y''=0 raus.
Ist damit gezeigt, das unter der Bedingung [mm] f_{x}(x_{0}, y_{0}) [/mm] = [mm] f_{y}(x_{0}, y_{0}) [/mm] = 0, die Kugel sich bei [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] im Gleichgewicht befindet?
Gruß
TnTwist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das folgt, aber natürlich nur weil da ruhende Kugel steht, also auch x',y'=0
der punkt kann also auch etwa die Kuppe eines Berges sein oder ein Pass , ohne x'=y'=0 würde x''=0 nicht helfen, er würde wegrollen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 28.01.2014 | | Autor: | tntwist |
> Hallo
> ja das folgt, aber natürlich nur weil da ruhende Kugel
> steht, also auch x',y'=0
Woher weiß ich das denn?
Etwa aus [mm] f_{x}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0}) [/mm] = 0 ?
Gruß tntwist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Di 28.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
indem du den Aufgabentext sorgfältig liest.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 28.01.2014 | | Autor: | tntwist |
Stimmt da steht doch ruhende Kugel^^.
Danke für die Hilfe
Gruß tntwist
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