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Hallo zusammen.
Ich habe soeben folgende DGL gelöst, und frage mich nun, ob dies stimmt:
x'' - [mm] \bruch{1}{t}*x' [/mm] + [mm] \bruch{1}{t^{2}}*x [/mm] = 0
Lösung:
Hierbei handelt es sich um eine homogene Euler DGL, oder?
Wenn ja, würde ich dies wie folgt lösen:
1) Indexpolynom:
[mm] \alpha^{(2)}=\alpha^{2}-\alpha
[/mm]
[mm] \alpha^{(1)}=\alpha
[/mm]
[mm] \alpha^{(0)}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Indexpolynom: [mm] (\alpha-1)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nullstellen: [mm] \alpha_{1,2}=1
[/mm]
2) Allgemeine Lösung:
x(t)= [mm] c_{1}*t^{1}+c_{2}*t^{1}
[/mm]
Stimmt das so??
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen.
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> Ich habe soeben folgende DGL gelöst, und frage mich nun,
> ob dies stimmt:
>
> x'' - [mm]\bruch{1}{t}*x'[/mm] + [mm]\bruch{1}{t^{2}}*x[/mm] = 0
>
> Lösung:
> Hierbei handelt es sich um eine homogene Euler DGL, oder?
> Wenn ja, würde ich dies wie folgt lösen:
>
> 1) Indexpolynom:
> [mm]\alpha^{(2)}=\alpha^{2}-\alpha[/mm]
> [mm]\alpha^{(1)}=\alpha[/mm]
> [mm]\alpha^{(0)}=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Indexpolynom: [mm](\alpha-1)^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Nullstellen: [mm]\alpha_{1,2}=1[/mm]
>
> 2) Allgemeine Lösung:
> x(t)= [mm]c_{1}*t^{1}+c_{2}*t^{1}[/mm]
>
> Stimmt das so??
Nein. Dass Deine Lösung nicht stimmen kann, mußt Du doch selbst sehen !
Wenn Deine Lösung richtig wäre, so wäre der Lösungsraum obiger homogener linearer DGL 2. Ordnung nur eindimensional. Tasächlich ist er aber zweidimensional.
Die allg. Lösung lautet so:
$x(t)=c_1t+c_2t*ln(t)$
FRED
> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo fred
> Nein. Dass Deine Lösung nicht stimmen kann, mußt Du doch
> selbst sehen !
>
> Wenn Deine Lösung richtig wäre, so wäre der Lösungsraum
> obiger homogener linearer DGL 2. Ordnung nur
> eindimensional. Tasächlich ist er aber zweidimensional.
>
> Die allg. Lösung lautet so:
>
> [mm]x(t)=c_1t+c_2t*ln(t)[/mm]
>
Und wie komme ich auf diesen ln(t)??
> FRED
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> > Nein. Dass Deine Lösung nicht stimmen kann, mußt Du doch
> > selbst sehen !
> >
> > Wenn Deine Lösung richtig wäre, so wäre der Lösungsraum
> > obiger homogener linearer DGL 2. Ordnung nur
> > eindimensional. Tasächlich ist er aber zweidimensional.
> >
> > Die allg. Lösung lautet so:
> >
> > [mm]x(t)=c_1t+c_2t*ln(t)[/mm]
> >
>
> Und wie komme ich auf diesen ln(t)??
Ihr habt doch sicher ein Kochrezept kennengelernt, mit dem Ihr Eulersche DGLen knacken könnt. Erzähl mal.
FRED
>
> > FRED
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo Fred
Ja, so wie ich es in meinem ersten Beitrag geschrieben habe:
Euler DGL hat die Form: [mm] x^{n}+\bruch{b_{n-1}}{t}*x^{n-1}+...+\bruch{b_{1}}{t^{n-1}}*x'+\bruch{b_{0}}{t^{n}}*x=0
[/mm]
1) [mm] \alpha's [/mm] berechnen berechnen
[mm] \alpha=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=0 \\ \alpha*(\alpha-1)*...*(\alpha-(k-1)), & \mbox{für } k\ge1 \end{cases}
[/mm]
2) Indexpolynom:
[mm] q(\alpha)=\alpha^{n}+b_{n-1}\alpha^{n-1}+...+b_{1}*\alpha+b_{0}
[/mm]
3) Nullstellen des Indexpolynoms [mm] q(\alpha) [/mm] berechnen
[mm] \alpha_{1}=... [/mm] & [mm] \alpha_{2}=...
[/mm]
4) Allgemeine Lösung:
x(t)= [mm] c_{1}*t^{\alpha_{1}}+....+c_{n}*t^{\alpha_{n}}
[/mm]
Ist dies falsch?? Diese Vorgehensweise habe ich aus dem Blatter Skript.
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
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> Ja, so wie ich es in meinem ersten Beitrag geschrieben
> habe:
> Euler DGL hat die Form:
> [mm]x^{n}+\bruch{b_{n-1}}{t}*x^{n-1}+...+\bruch{b_{1}}{t^{n-1}}*x'+\bruch{b_{0}}{t^{n}}*x=0[/mm]
>
> 1) [mm]\alpha's[/mm] berechnen berechnen
> [mm]\alpha=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=0 \\ \alpha*(\alpha-1)*...*(\alpha-(k-1)), & \mbox{für } k\ge1 \end{cases}[/mm]
>
> 2) Indexpolynom:
>
> [mm]q(\alpha)=\alpha^{n}+b_{n-1}\alpha^{n-1}+...+b_{1}*\alpha+b_{0}[/mm]
>
> 3) Nullstellen des Indexpolynoms [mm]q(\alpha)[/mm] berechnen
> [mm]\alpha_{1}=...[/mm] & [mm]\alpha_{2}=...[/mm]
>
> 4) Allgemeine Lösung:
> x(t)= [mm]c_{1}*t^{\alpha_{1}}+....+c_{n}*t^{\alpha_{n}}[/mm]
>
> Ist dies falsch?? Diese Vorgehensweise habe ich aus dem
> Blatter Skript.
................... und was sagt Blatter zu mehrfachen Nullstellen von q ..... ?
FRED
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Do 16.06.2011 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo Fred
...upppps...das habe ich überlesen.
Bei doppelter Nullstelle lautet die allg. Lösung: [mm] c_{1}*t^{\alpha}+c_{2}*t^{\alpha}*ln(t)
[/mm]
Vielen Dank!!
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