Euler'sche Formel umstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | | Die Eulersche-Formel lautet [mm] $e^{jx}=cosx [/mm] +jsinx$ |
Wie stelle ich die Eulersche-Formel [mm] $e^{jx}=cosx [/mm] +jsinx$
nach sinx bzw nach cosx um?
Angenommen ich will die Formel nach sinx umstellen:
[mm] $e^{jx}=cosx [/mm] +jsinx$
$jsinx = [mm] e^{jx}-cosx$
[/mm]
Nun muss ich das j loswerden, also multipliziere ich die Gleihung mit -1.
=> $sinx = cosx - [mm] e^{jx}$
[/mm]
Wie mache ich jetzt weiter?
Rauskommen soll:
[mm] $sinx=\frac{1}{2j}(e^{jx}-e^{-jx})$
[/mm]
[mm] $cosx=\frac{1}{2}e^{jx}+e^{-jx}$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Eulersche-Formel lautet [mm]e^{jx}=cosx +jsinx[/mm]
> Wie stelle
> ich die Eulersche-Formel [mm]e^{jx}=cosx +jsinx[/mm]
> nach sinx bzw
> nach cosx um?
>
> Angenommen ich will die Formel nach sinx umstellen:
> [mm]e^{jx}=cosx +jsinx[/mm]
> [mm]jsinx = e^{jx}-cosx[/mm]
>
> Nun muss ich das j loswerden, also multipliziere ich die
> Gleihung mit -1.
Wie kommst Du darauf ?
> => [mm]sinx = cosx - e^{jx}[/mm]
Nein. Du bekommst: [mm]-jsinx = -e^{jx}+cosx[/mm]
>
> Wie mache ich jetzt weiter?
>
> Rauskommen soll:
> [mm]sinx=\frac{1}{2j}(e^{jx}-e^{-jx})[/mm]
> [mm]cosx=\frac{1}{2}e^{jx}+e^{-jx}[/mm]
>
Es ist [mm] $e^{jx}+e^{-jx}=cos(x)+jsin(x)+cos(x)-jsin(x)$
[/mm]
Jetzt Du
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:35 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
Achso, du hast den Term mit [mm] $e^{-jx}$ [/mm] erweitert und umgestellt.
$ [mm] e^{jx}=cosx [/mm] +jsinx $
$ [mm] e^{jx} [/mm] + [mm] e^{-jx} [/mm] =cosx + jsinx + [mm] e^{-jx} [/mm] $
$ [mm] e^{jx} [/mm] + [mm] e^{-jx} [/mm] =cosx + jsinx + cosx - jsinx $
$ [mm] e^{jx} [/mm] + [mm] e^{-jx} [/mm] =2 cosx $
=> [mm] \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2} [/mm] = cosx
Das stimmt auch. Danke!
Aber was mache ich bei sinx?
Habe versucht den Term mit [mm] $e^{jx}$ [/mm] zu erweitern aber dann verdoppelt sich ja alles. Ich muss ja den cosx eliminieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
Ah! Jetzt habe ich es!
wenn ich mit [mm] $-e^{-jx}$ [/mm] erweitere, komme ich auf die richtige Lösung.
Wenn ich aber mit [mm] $-e^{jx}$ [/mm] erwitere, ist ide Lösung ein wenig anders.
Wieso erweitern man mit [mm] $-e^{-jx}$ [/mm] und nicht mit [mm] $-e^{jx}$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ah! Jetzt habe ich es!
>
> wenn ich mit [mm]-e^{-jx}[/mm] erweitere, komme ich auf die richtige
> Lösung.
das was Du meinst, nennt man addieren, nicht erweitern 
>
> Wenn ich aber mit [mm]-e^{jx}[/mm] erwitere, ist ide Lösung ein
> wenig anders.
> Wieso erweitern man mit [mm]-e^{-jx}[/mm] und nicht mit [mm]-e^{jx}[/mm]?
Ganz einfach: Weil [mm] $e^{ix}-e^{ix}=0$ [/mm] ist.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
Super! Danke für die Hilfe!
|
|
|
|
