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| Aufgabe | 1) A,B,C [mm] \in R^2 [/mm] sei ein Dreieck mit A=(1,1), B=(6,4), C=(4,8). Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden S, der Schnittpunkt der Höhen H und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M auf einer Geraden liegen, der Euler-Geraden des Dreiecks, und
TV (M,H,S) = 1/3 sowie
[mm] 3*\vec{s}= \vec{h} [/mm] + [mm] 2*\vec{m} [/mm] gilt. |
Hallo,
kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen kann? Wir sollen das sicherlich mit Vektoren beweisen...
Kann man das vielleicht einfach ausrechnen und dann jeweils von den Höhen, Mittelsenkrechten und Seitenhalbierenden die Schnittpunkte berechnen und dann jeweils nachprüfen, ob die auf einer Gerade liegen? Da habe ich nur das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich für die Höhen usw. die Parameterdarstellungen oder so rausbekommen kann.
Oder muss ich das irgendwie zeigen, dass die drei Punkte linear abhängig sind und deshalb auf einer Geraden liegen müssen??
Und weiß jemand, wie ich das mit dem TV beweisen könnte??
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mi 11.06.2008 | | Autor: | abakus |
> 1) A,B,C [mm]\in R^2[/mm] sei ein Dreieck mit A=(1,1), B=(6,4),
> C=(4,8). Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt der
> Seitenhalbierenden S, der Schnittpunkt der Höhen H und der
> Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M auf einer Geraden
> liegen, der Euler-Geraden des Dreiecks, und
> TV (M,H,S) = 1/3 sowie
>
> [mm]3*\vec{s}= \vec{h}[/mm] + [mm]2*\vec{m}[/mm] gilt.
> Hallo,
> kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen
> kann? Wir sollen das sicherlich mit Vektoren beweisen...
> Kann man das vielleicht einfach ausrechnen und dann
> jeweils von den Höhen, Mittelsenkrechten und
> Seitenhalbierenden die Schnittpunkte berechnen und dann
> jeweils nachprüfen, ob die auf einer Gerade liegen? Da habe
> ich nur das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich für die
> Höhen usw. die Parameterdarstellungen oder so rausbekommen
> kann.
> Oder muss ich das irgendwie zeigen, dass die drei Punkte
> linear abhängig sind und deshalb auf einer Geraden liegen
> müssen??
Hallo,
versuche doch erst mal, es elementargeometrisch zu begreifen, dann ist die vektorielle Umsetzung sicher leichter.
![[]](/images/popup.gif) Guckst du hier!
Gruß Abakus
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> Und weiß jemand, wie ich das mit dem TV beweisen könnte??
> Viele Grüße,
> Anna
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Danke, aber ich hatte mir das auch schon aufgezeichnet und so... den Schwerpunkt konnte ich auch noch berechnen und dann würde ich jetzt gerne noch den Höhenschnittpunkt berechnen und den der Mittelsenkrechten und dann kann ich zeigen, dass die alle auf einer Geraden liegen.. aber wie bekomme ich denn den Höhenschnittpunkt? Habe das schon alles versucht mit Vektoren, aber bekomme es einfach nicht hin, da ich doch nicht weiß von z.B. auf dem Vektor AB die Höhe steht...!
Ich hoffe mir kann grad noch jemand helfen. Ich kriegs einfach nicht hin..
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mi 11.06.2008 | | Autor: | weduwe |
> Danke, aber ich hatte mir das auch schon aufgezeichnet und
> so... den Schwerpunkt konnte ich auch noch berechnen und
> dann würde ich jetzt gerne noch den Höhenschnittpunkt
> berechnen und den der Mittelsenkrechten und dann kann ich
> zeigen, dass die alle auf einer Geraden liegen.. aber wie
> bekomme ich denn den Höhenschnittpunkt? Habe das schon
> alles versucht mit Vektoren, aber bekomme es einfach nicht
> hin, da ich doch nicht weiß von z.B. auf dem Vektor AB die
> Höhe steht...!
> Ich hoffe mir kann grad noch jemand helfen. Ich kriegs
> einfach nicht hin..
> Viele Grüße,
> Anna
vektoriell kommst du so auf die trägergerade der höhe [mm] h_c:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{5\\3}
[/mm]
und da höhe und seite c aufeinander senkrecht stehen und die gerade durch den punkt C geht, steht da:
[mm] h_c:\vc{x}=\vektor{4\\8}+t\vektor{-3\\5}
[/mm]
und diese gerade schneidest du mit einer zweiten "höhengeraden"
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