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Eulersche Phi-Funktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Di 24.05.2011
Autor: katrin10

Aufgabe
Sei [mm] \phi [/mm] die eulersche [mm] \phi-Funktion. [/mm] Sind die folgenden Aussagen wahr? Begründe!
1. Für alle a,b [mm] \in \IN [/mm] gilt a>b [mm] \Rightarrow \phi(a)>\phi(b) [/mm]
2. Es gibt ein [mm] k\in \IN, [/mm] sodass für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] \phi(n+k)>\phi(n) [/mm]

Hallo,
im ersten Aufgabenteil ist die Aussage falsch, denn [mm] \phi(6)=2<4=\phi(5). [/mm] Daher kann die 2. Aussage für ein kleines k nicht stimmen. Ich gehe davon aus, dass man auch für ein großes k immer wieder ein n findet, für das die Aussage nicht gilt. Es gilt [mm] \phi(p)=p-1 [/mm] für p Primzahl und ist n+k eine Zahl aus vielen Primfaktoren, so ist die Aussage sicherlich falsch, allerdings weiß ich nicht, wie ich dies beweisen könnte.
Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
Katrin



        
Bezug
Eulersche Phi-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 25.05.2011
Autor: reverend

Hallo Katrin,

das sieht schon ganz gut aus.

> Sei [mm]\phi[/mm] die eulersche [mm]\phi-Funktion.[/mm] Sind die folgenden
> Aussagen wahr? Begründe!
>  1. Für alle a,b [mm]\in \IN[/mm] gilt a>b [mm]\Rightarrow \phi(a)>\phi(b)[/mm]
>  
> 2. Es gibt ein [mm]k\in \IN,[/mm] sodass für alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\phi(n+k)>\phi(n)[/mm]
>  Hallo,
>  im ersten Aufgabenteil ist die Aussage falsch, denn
> [mm]\phi(6)=2<4=\phi(5).[/mm]

Genau. Ein einziges Gegenbeispiel reicht.

> Daher kann die 2. Aussage für ein
> kleines k nicht stimmen. Ich gehe davon aus, dass man auch
> für ein großes k immer wieder ein n findet, für das die
> Aussage nicht gilt. Es gilt [mm]\phi(p)=p-1[/mm] für p Primzahl und
> ist n+k eine Zahl aus vielen Primfaktoren, so ist die
> Aussage sicherlich falsch, allerdings weiß ich nicht, wie
> ich dies beweisen könnte.

Auch das stimmt alles. Du scheinst ein gutes Gefühl dafür zu haben, wonach man hier eigentlich suchen muss.

Ziel wird sein, die Existenz eines solchen k anzunehmen, und dann ein n zu finden, für das die Ungleichung nicht gilt. So ist z.B. [mm] \varphi(2k)>\varphi(k) [/mm] nur für gerade k wahr.

Die Frage ist also, ob ich aus der kanonischen Zerlegung eines beliebigen (geraden) k ein n konstruieren kann, für das die Vermutung nicht gilt.

Grüße
reverend

>  Über einen Tipp bin ich sehr dankbar.
>  Katrin
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Eulersche Phi-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 Mi 25.05.2011
Autor: katrin10

Vielen Dank für den Tipp. Ich habe jetzt ein entsprechendes n gefunden.

Bezug
                        
Bezug
Eulersche Phi-Funktion: Probe...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mi 25.05.2011
Autor: reverend

Hallo Katrin,

> Vielen Dank für den Tipp. Ich habe jetzt ein
> entsprechendes n gefunden.

Damit dieser Thread vielleicht auch in Zukunft jemandem hilft, gib doch mal einen Hinweis (nicht unbedingt die Lösung).

Wie sähe z.B. n aus, wenn [mm] k=2^{3}*3*5^2*p^{a} [/mm] mit [mm] p\in\IP, a\in\IN, [/mm] a>2 ist?

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Eulersche Phi-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mi 25.05.2011
Autor: katrin10

Hallo,
ich bin jetzt etwas anders vorgegangen. Durch die Ungleichung [mm] \phi(2k)>\phi(k) [/mm] kam ich auf die Idee, dass wir schonmal [mm] k*\phi(k)=\phi(k^2) [/mm] bewiesen haben und habe die Aufgabe dann damit gelöst.
Katrin

Bezug
                                        
Bezug
Eulersche Phi-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mi 25.05.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> ich bin jetzt etwas anders vorgegangen. Durch die
> Ungleichung [mm]\phi(2k)>\phi(k)[/mm] kam ich auf die Idee, dass wir
> schonmal [mm]k*\phi(k)=\phi(k^2)[/mm] bewiesen haben und habe die
> Aufgabe dann damit gelöst.

Gute Idee.

Grüße
reverend


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