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Eulersche Zahl: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Sa 15.01.2005
Autor: joke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe Probleme Aufgaben mit der Eulerschen Zahl zu differenzieren und integrieren

hier ein Beispiel das ich nicht lösen kann

y = (e^ax - e^-ax)²

ich weiß jedesmal nicht wie ich die Hochzahl von e Abwandeln muss, gibt es da eine generelle Regel dafür ? z.b. [mm] e^x²-1 [/mm] was wäre hiervon die 1. Ableitung ?

Ich hoffe mein Problem ist klar, ich weiß nicht was ich genau tun muss, wäre super wenn mir jemand das erklären könnte, muss ich mit der inneren Ableitung multiplizieren oder was auch immer

hoffe auf baldige Antwort

Liebe Grüße Joke

        
Bezug
Eulersche Zahl: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Sa 15.01.2005
Autor: Loddar

Hallo joke,

auch Dir hier natürlich [willkommenmr]!!

Eine nette Anrede/Begrüßung an uns wird hier auch immer wieder gerne gesehen ;-) ...


> ich weiß jedesmal nicht wie ich die Hochzahl von e
> Abwandeln muss, gibt es da eine generelle Regel dafür ?
> z.b. [mm]e^x²-1[/mm] was wäre hiervon die 1. Ableitung ?

Allgemein gilt für die Exponentialfunktion: [mm] $\left(e^z\right)' [/mm] = [mm] e^z$ [/mm]
Das macht die Handhabung mit der e-Funktion ja ziemlich einfach und so sympathisch ... :-)


Für Dein konkretes Beispiel muß Du natürlich auch noch die MBKettenregel anwenden ...

Deine Beispielfunktion (ich nehme mal an, Du meinst diese):
$y = [mm] e^{x^2-1}$ [/mm]

$y' = [mm] \underbrace{e^{x^2-1}}_{= aeussere Abl.}* \underbrace{2*x}_{= innere Abl.} =\quad 2x*e^{x^2-1}$ [/mm]


Nun versuch' Dich doch mal an Deiner Ursprungsaufgabe $y = [mm] \left(e^{a*x} - e^{-a*x}\right)^2$ [/mm] und poste Dein Ergebnis hier zur Kontrolle (wenn Du möchtest) ...

Grüße
Loddar


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Eulersche Zahl: Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Sa 15.01.2005
Autor: joke

Hallo Loddar :)

Danke erstmal für deine rasche Hilfe, nun dann versuche ich mich mal an der Aufgabe

$ y = [mm] \left(e^{a\cdot{}x} - e^{-a\cdot{}x}\right)^2 [/mm] $

y' = 2(e^ax - e^-ax) . (a . e^ax + a . e^-ax)

ich hoffe die Aufgabe stimmt jetzt so

verstehe trotzdem noch ganz warum ich mit der inneren Ableitung mulziplizieren muss bei e^ax und das ax nicht unverändert bleibt

denn bei x² ist die Ableitung ja auch 2x und nicht 0 . x oder denke ich gerade falsch ?

Liebe Grüße Joke


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Eulersche Zahl: Ableitung OK, aber ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Sa 15.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Joke!


> [mm]y = \left(e^{a\cdot{}x} - e^{-a\cdot{}x}\right)^2[/mm]
> y' = 2(e^ax - e^-ax) . (a . e^ax + a . e^-ax)

[daumenhoch]
Wenn Du möchtest, kann man das noch etwas zusammenfassen (in der 2. Klammer $a$ ausklammern und anschließend 3. binomische Formel anwenden).
Falls Du nämlich eine weitere Ableitung berechnen müsstest, wäre das dann um einiges einfacher ...


Kleiner Hinweis / Bitte:
Mach' dich mal ruhig mit unserem Formeleditor vertraut.
Das ist gar nicht sooo schwer ...


> verstehe trotzdem noch ganz warum ich mit der inneren
> Ableitung mulziplizieren muss bei e^ax und das ax nicht
> unverändert bleibt
>  
> denn bei x² ist die Ableitung ja auch 2x und nicht 0 . x
> oder denke ich gerade falsch ?

[haee]
Ich muß gestehen: Hier verstehe ich Deine Frage / Dein Problem nicht ganz ...


Loddar


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Eulersche Zahl: Sry, etwas falsch formuliert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Sa 15.01.2005
Autor: joke

Hallo Loddar,

Meine Frage war etwas missverständlich formuliert, tut mir leid, sollte das nächste mal etwas mehr auf korrekte Fragestellungen achten

Nun ich versuche es noch einmal:

In meinem Beispiel mit [mm] e^{x²-1} [/mm] ist mir klar warum mit der inneren Ableitung multiplizieren muss, nun meine Frage - verhält es sich bei jeder Variable so ? Also müsste ich auch bei [mm] x^{x²} [/mm] mit der inneren Ableitung multiplizieren ? Die Lösung wäre dann [mm] 2x.x^{x²-1} [/mm] oder funktioniert es da anders ?

Hoffe du verstehst mich jetzt etwas besser

Liebe Grüße Joke

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Eulersche Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 15.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Joke!


> In meinem Beispiel mit [mm]e^{x²-1}[/mm] ist mir klar warum mit der
> inneren Ableitung multiplizieren muss, nun meine Frage -
> verhält es sich bei jeder Variable so?

[daumenhoch] Ganz genau!



> Also müsste ich auch bei [mm]x^{x²}[/mm] mit der inneren Ableitung
> multiplizieren ?

[daumenhoch] Richtig.
Denn bei verketteten Funktion gilt ja immer die MBKettenregel mit "äußere Ableitung  ×  innere Ableitung".


> Die Lösung wäre dann [mm]2x.x^{x²-1}[/mm] oder funktioniert es da
> anders ?

[notok]
Vom Prinzip her meinst Du das richtige (unterstelle ich Dir einfach mal ;-) ).

Aber:
Die Ableitung von $y = [mm] x^x$ [/mm] ist nicht [mm] $x^x$. [/mm]
(Sooo einfach geht das nur bei der e-Funktion $y = [mm] e^x$.) [/mm]
Diese Ableitung erspar' ich Dir mal...


Dieses "-1" im Exponenten der Ableitung hat sich doch nur versehentlich dahingeschlichen, oder?


Grüße
Loddar


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Eulersche Zahl: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Sa 15.01.2005
Autor: joke

Vielen Dank für deine Hilfe Loddar,

verstehe das jetzt im groben, mit ein bisschen Übung sollte ich das dann schon hinbekommen, Aufgaben mit [mm] x^x [/mm] werden sowieso nicht Stoff dieser Schularbeit sein also werd ich mich um die Ableitung mal nicht weiter kümmern ;)

Liebe Grüße Joke

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Eulersche Zahl: x Basis oder Exponent?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 So 16.01.2005
Autor: informix

Hallo joke,
> Vielen Dank für deine Hilfe Loddar,
>  
> verstehe das jetzt im groben, mit ein bisschen Übung sollte
> ich das dann schon hinbekommen, Aufgaben mit [mm]x^x[/mm] werden
> sowieso nicht Stoff dieser Schularbeit sein also werd ich
> mich um die Ableitung mal nicht weiter kümmern ;)

Der Unterschied zwischen [mm] e^x [/mm] und [mm] x^2 [/mm] liegt natürlich darin, dass
bei [mm] x^2 [/mm] das x die Basis und 2 der Exponent ist,
bei [mm] e^x [/mm] das x der Exponent und die Zahl e (=MBEulersche Zahl) die Basis ist.

Nur wenn e die Basis ist, ist die Ableitung [mm] (e^x)' [/mm] = [mm] $e^x$; [/mm] wirklich nur dann!


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Eulersche Zahl: Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 So 16.01.2005
Autor: joke

Hallo informix,

Danke für deine Antwort, ist mir schon klar dass das nur bei [mm] e^x [/mm] klappen kann, wie es bei meiner Aufgabe mit [mm] x^x² [/mm] funktionieren würde weiß ich im Moment wirklich nicht aber ist ja eigentlich egal da es nicht zur Schularbeit kommt, dass es nicht unverändert bleibt ist klar

Liebe Grüße JOke

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Eulersche Zahl: Noch eine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 So 16.01.2005
Autor: joke

Hallo

ich habe immer noch Probleme,

sitze gerade an einer Aufgabe, ich konnte die Funktion problemlos ableiten allerdings komme ich dann nicht mehr weiter, die 2. Ableitung zu finden fällt mir schwer

y'=4/x(1-lnx)

ich weiß jetzt nicht wie ich den Bruch ableiten muss, gleiches Problem habe ich bei der nächsten Aufgabe

[mm] y=-(x/2+3)+e^{-x/6} [/mm]

Mit den Brüchen komme ich nicht weiter, die Zahl muss ich ja eigentlich gar nicht ableiten oder doch ? bin mir da nicht sicher wann ich eine Konstante (also die Zahl) ableiten muss und wann nicht, denn wenn ich nach x ableite gehört die Zahl ja nicht zum x und sollte daher unangetastet bleiben

Hoffe das kann mir jemand erklären

Liebe Grüße Joke

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Eulersche Zahl: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 16.01.2005
Autor: Loddar

Hallo joke!


Aufgabe 1

> y'=4/x(1-lnx)
>  
> ich weiß jetzt nicht wie ich den Bruch ableiten muss,
> gleiches Problem habe ich bei der nächsten Aufgabe

[keineahnung] Hier ist leider nicht eindeutig, wie Deine Funktion bzw. die 1. Ableitung lautet.
Benutze doch bitte unseren Formeleditor, das ist nicht schwer (mit etwas Übung ...).

Ich kann jetzt nur raten:
$y' = [mm] \bruch{4}{x*[1-ln(x)]}$ [/mm]
oder
$y' = [mm] \bruch{4}{x}*[1-ln(x)]$ [/mm]



Aufgabe 2

> [mm]y=-(x/2+3)+e^{-x/6}[/mm]
>  
> Mit den Brüchen komme ich nicht weiter, die Zahl muss ich
> ja eigentlich gar nicht ableiten oder doch ? bin mir da
> nicht sicher wann ich eine Konstante (also die Zahl)
> ableiten muss und wann nicht, denn wenn ich nach x ableite
> gehört die Zahl ja nicht zum x und sollte daher
> unangetastet bleiben

Ich schreibe Dir die Funktion mal etwas um:
$y = [mm] -\bruch{1}{2}*x [/mm] - 3 + [mm] e^{-\bruch{1}{6}*x}$ [/mm]

Vorne habe ich einfach die Klammer aufgelöst, indem ich innerhalb der Klammer die Vorzeichen umgedreht habe.

Eine Konstante, die addiert wird, ergibt als Ableitung 0 : $(c)' = 0$


Kommst Du nun etwas weiter?
Poste doch zur 1. Aufgabe mal die richtige Funktion $y'$ und/oder Deine (Zwischen-)Ergebnisse ...


Loddar


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Eulersche Zahl: Versuch einer Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 So 16.01.2005
Autor: joke

$ y = [mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}x [/mm] - 3 + [mm] e^{-\bruch{1}{6}\cdot{}x} [/mm] $

$ [mm] y'=-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{6}e^{-1/6x} [/mm] $

habe das jetzt glaube ich verstanden, das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gehört einfach zur Variable und wenn ich die Variable ableite bleibt das eigentlich unverändert, das +3 fällt weg da eine Konstante abgeleitet 0 ergibt und das [mm] e^{-x/6} [/mm] muss ich einfach mit der Kettenregel abhandeln, soweit so klar :) hoffe dass es nun richtig ist

Dann probiere ich noch meine 2. Aufgabe:

$ y = 4lnx - 2(lnx)² $

$ y' = [mm] \bruch{4}{x} [/mm] - [mm] 4lnx.\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{4}{x}(1-lnx) [/mm] $

$ y'' = 4(1-lnx) + [mm] \bruch{4}{x} [/mm] . [mm] (-\bruch{1}{x}) [/mm] $

hoffe es stimmt

Grüße Joke

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Eulersche Zahl: Fast ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 So 16.01.2005
Autor: Loddar

Hallo joke!

> [mm]y = -\bruch{1}{2}\cdot{}x - 3 + e^{-\bruch{1}{6}\cdot{}x}[/mm]

> [mm]y'=-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{6}e^{-1/6x}[/mm]

[daumenhoch] Prima!


> habe das jetzt glaube ich verstanden, das [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> gehört einfach zur Variable und wenn ich die Variable
> ableite bleibt das eigentlich unverändert, das +3 fällt weg
> da eine Konstante abgeleitet 0 ergibt und das [mm]e^{-x/6}[/mm] muss
> ich einfach mit der Kettenregel abhandeln, soweit so klar
> :) hoffe dass es nun richtig ist

[daumenhoch] Ganz genau!



> Dann probiere ich noch meine 2. Aufgabe:
>  
> [mm]y = 4lnx - 2(lnx)²[/mm]
>  
> [mm]y' = \bruch{4}{x} - 4lnx*\bruch{1}{x} = \bruch{4}{x}(1-lnx)[/mm]

Bis hierher: [daumenhoch] !!


Bei der 2. Ableitung hast Du [mm] $\bruch{4}{x}$ [/mm] verwechselt mit $4*x$ [notok] .
Sonst sieht das sehr gut aus ...


Los, jetzt klappt's ganz sicher!!


Loddar


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Eulersche Zahl: Noch ein Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 16.01.2005
Autor: joke

Dann versuche ich es nochmal

habe doch tatsächlich die Multiplikationsregel angewandt obwohl es eine Division ist

$ y' = [mm] \bruch{4}{x}(1-lnx) [/mm] $

$ y'' = [mm] \bruch{-\bruch{4}{x}.x - 4(1-lnx)}{x²} [/mm] $ = $ y'' = [mm] \bruch{-4 - 4(1-lnx)}{x²} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-8-4lnx}{x²} [/mm] $

hm glaube jetzt stimmt es, ist möglich das ich beim arbeiten mit dem Formeleditor einen Fehler gemacht habe, hoffe aber nicht


Bezug
                                                                                                                
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Eulersche Zahl: Nur eine Winzigkeit ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 So 16.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Joke,

hab mich grad selber etwas verhaspelt. Deshalb ein paar Minuten später ...

> habe doch tatsächlich die Multiplikationsregel angewandt
> obwohl es eine Division ist

[ok] Kann man so machen - gar kein Problem!
Du hättest auch die MBProduktregel anwenden können mit:
$u =  [mm] \bruch{4}{x}$ [/mm]   und
$v = 1-lnx$


> [mm]y' = \bruch{4}{x}(1-lnx)[/mm]
>  
> [mm]y'' = \bruch{-\bruch{4}{x}.x - 4(1-lnx)}{x²} = \bruch{-4 - 4(1-lnx)}{x²}[/mm]

[daumenhoch] Bis hierher alles richtig gemacht !!!
Die Ableitung stimmt ...


> = [mm]\bruch{-8-4lnx}{x²}[/mm]

[notok] Hier hast Du das Minuszeichen nicht konsequent in der Klammer umgedreht.

Richtig heißt es: [mm]\bruch{-8\red{+}4*ln(x)}{x^2} = \bruch{4*ln(x) - 8}{x^2}[/mm]


Also bis auf diese Winzigkeit gut gemacht ...

Grüße
Loddar


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Eulersche Zahl: Freut mich
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Mo 17.01.2005
Autor: joke

Hallo Loddar,

freut mich dass es jetzt doch noch geklappt hat ;) werde dann mal weiter üben und falls noch Fragen sind diese noch hier stellen, habe ja noch bis Mittwoch Zeit

Liebe Grüße JOke

Bezug
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