Eulersche Zahl < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:23 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Dratini |
| Aufgabe | [mm] a_{n} [/mm] = (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = e |
Hallo, liebes Vorhilfeteam.
Ich denke nicht, dass meine Frage schwer zu klären ist, aber ich selbst blicke da nicht so recht durch. Vielleicht könnt ihr mir helfen, das oben zu verstehen.
Meine Überlegung:
Wenn ich abschätze erhalte ich doch, dass [mm] \bruch{1}{n}\to [/mm] 0 für [mm] n\to \infty.
[/mm]
Das heißt also, dass die Klammer gegen 1 geht.
Und da [mm] 1^{n}=1 [/mm] ist, wieso geht es dann gegen e und nicht gegen 1. Wo liegt mein Logikfehler oder bin ich einfach zu dumm hier durchzublicken?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für jede Antwort.
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Hallo Dratini,
erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> [mm]a_{n}[/mm] = (1+ [mm]\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm] \red{a_n} [/mm] = e
> Hallo, liebes Vorhilfeteam.
> Ich denke nicht, dass meine Frage schwer zu klären ist,
> aber ich selbst blicke da nicht so recht durch. Vielleicht
> könnt ihr mir helfen, das oben zu verstehen.
>
> Meine Überlegung:
> Wenn ich abschätze erhalte ich doch, dass [mm]\bruch{1}{n}\to[/mm] 0 für [mm]n\to \infty.[/mm]
> Das heißt also, dass die Klammer gegen 1 geht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und da [mm]1^{n}=1[/mm] ist, wieso geht es dann gegen e und nicht
> gegen 1. Wo liegt mein Logikfehler oder bin ich einfach zu
> dumm hier durchzublicken?
Das Problem bei deinen Überlegungen liegt im Grenzübergang
Wogegen strebt denn [mm] $1^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Gegen [mm] $1^{\infty}$, [/mm] aber was ist das?
Für jede Zahl $a>0$ kannst du [mm] $a^b$ [/mm] schreiben als [mm] $e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also "ist" [mm] $1^{\infty}=e^{\infty\cdot{}\ln(1)}=e^{\infty\cdot{}0}$
[/mm]
Nun ist leider [mm] $\infty\cdot{}0$ [/mm] ein unbestimmter Ausdruck, man kann also so nichts darüber aussagen
Also musst du dir was anderes überlegen, um den GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] der Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n_{n\in\IN}$ [/mm] zu bestimmen ...
Beweise dazu, dass dieser GW = e ist findest du in jedem Ana (I) Lehrbuch
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke für jede Antwort.
LG
schachuzipus
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> Das Problem bei deinen Überlegungen liegt im Grenzübergang
>
> Wogegen strebt denn [mm]1^n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]?
>
> Gegen [mm]1^{\infty}[/mm], aber was ist das?
>
> Für jede Zahl [mm]a>0[/mm] kannst du [mm]a^b[/mm] schreiben als
> [mm]e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]
>
> Also "ist"
> [mm]1^{\infty}=e^{\infty\cdot{}\ln(1)}=e^{\infty\cdot{}0}[/mm]
>
> Nun ist leider [mm]\infty\cdot{}0[/mm] ein unbestimmter Ausdruck,
> man kann also so nichts darüber aussagen
1.) "Wogegen strebt denn [mm]1^n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]?"
---> Natürlich ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1^n [/mm] =1, weil [mm] 1^n=1 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] !
2.) Es macht wohl keinen Sinn, in einem Zusammenhang, wo es um
die Definition und Existenz der Zahl e als Grenzwert geht, mit
natürlichen Logarithmen (und damit mit e) zu argumentieren.
LG
( P.S.: der Rest der Erläuterungen war natürlich durchaus richtig )
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> [mm]a_{n}[/mm] = (1+ [mm]\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = e
> Hallo, liebes Vorhilfeteam.
> Ich denke nicht, dass meine Frage schwer zu klären ist,
> aber ich selbst blicke da nicht so recht durch. Vielleicht
> könnt ihr mir helfen, das oben zu verstehen.
>
> Meine Überlegung:
> Wenn ich abschätze erhalte ich doch, dass [mm]\bruch{1}{n}\to[/mm]0 für [mm]n\to \infty.[/mm]
> Das heißt also, dass die Klammer gegen 1 geht.
> Und da [mm]1^{n}=1[/mm] ist, wieso geht es dann gegen e und nicht gegen 1.
Hallo dratini,
davon, dass der Grenzwert nicht 1 ist, kannst du dich
auch "experimentell" überzeugen:
Berechne [mm] a_n [/mm] z.B. einmal für [mm] n\in \{1,2,3,4,...,10,100,1000,10000,...\}
[/mm]
Du kannst feststellen, dass die Zahlenwerte immer grösser werden:
die Folge der [mm] a_n [/mm] ist streng monoton steigend. Dies kann man auch
beweisen. Um zu zeigen, dass die Folge aber nicht über alle Grenzen
wächst, kann man eine Folge [mm] \{b_n\} [/mm] konstruieren, die monoton
fallend ist und denselben Grenzwert wie die Folge [mm] \{b_n\} [/mm] haben
muss. Damit wird dann klar, dass es einen endlichen Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
geben muss. Dies ist dann die Eulersche Zahl e. Diese Beweise sind,
wie von schachuzipus erwähnt, in Lehrbüchern zu Analysis I nachzulesen.
LG al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Dratini |
Also wenn ich sage:
[mm] (1-\bruch{1}{n})^{n } [/mm] < e
dann muss ja auch
e < [mm] (1-\bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
sein. Das heißt:
1 < [mm] \bruch{e}{(1-\bruch{1}{n})^n} [/mm] < 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Und da 1/n eine Nullfolge ist bleibt der Mitte nichts anderes übrig als auch gegen 1 zu gehen [mm] \rightarrow (1-\bruch{1}{n})^{n} \to [/mm] e
(weil e/e bekanntlich 1 ist)
Habe ich das nun richtig verstanden? Dann sage ich schon mal vielen Dank für die rasche Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Sa 21.06.2008 | | Autor: | DerAntiPro |
Nein, das klappt nicht so ganz.
Also zunächst einmal setzt du etwas vorraus, das du u.a. beweisen willst, nämlich [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n } [/mm] < e, aber das ist nicht allzu schlimm, das dürfte einfach beweisbar sein. Als nächstes schlussfolgerst du aus [mm] x^{a} [/mm] < e, dass [mm] x^{a+1} [/mm] > e. Das kannst du auch nicht einfach so machen, das gilt nämlich im Allgemeinen nicht.
Ich denke, mit der Formel e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n!} [/mm] dürftest du weiter kommen, indem du mal
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n } [/mm] nach dem binomischen Lehrsatz zu 1 + [mm] \vektor{n \\ 1}\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n} \bruch{n}{n^{n}} [/mm] umformst. Dann schreibst du die Binomialkoeffizienten mal aus und schätzt die nach oben ab und dann stehts schon fast da.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Dratini |
Das wäre also abgeschätzt 1+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] also meine rechte Seite.
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hallo dratini,
der Beweis für die Existenz des Grenzwerts [mm] \limes_{n\to \infty} (1+\bruch{1}{n})^n [/mm]
ist wohl doch schwieriger, als du dir vorgestellt hast.
Man findet ihn aber, wie schon schachuzipus geschrieben
hat, in Lehrbüchern zum Uni-Kurs Analysis I oder auch
in Analysisbüchern (Leistungskurs) der Sekundarstufe II.
z.B.: Lambacher Schweizer, Analysis Leistungskurs, Ernst Klett Verlag
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Dratini |
Da hast du wohl recht. Habe eher etwas selbstverständliches erwartet.
Ich habe den Beweis nun auch im Lambacher Schweizer nachgeschlagen.
Man stellt also mit n+1 eine Folge [mm] b_{n} [/mm] her, die immer > [mm] a_{n} [/mm] ist. [mm] b_{n} [/mm] ist monoton fallend und [mm] a_{n} [/mm] monoton steigend aber durch [mm] b_{n} [/mm] beschränkt.
Und dann kommt man auf das, was ich zuvor geschrieben habe und man kann den Grenzwert e bestimmen.
Ich denke langsam habe ich den Dreh raus. Danke für deine (eure) Geduld.
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