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Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mo 27.01.2020
Autor: sina10


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Guten Nachmittag.



Ich möchte gerne mit dem Eulerschen Polygunzugverfahren die Lösung der DGL $y ' [mm] \cdot [/mm] y + x = 0$ mit $y'(0) = 5$ approximieren.

Ist bestimmt nicht schwer, aber bin mit dem Verfahren noch nicht so vertraut.


Meine Vorgehensweise ist folgende:




1.) Stelle DGL nach $y'$ um


$y ' [mm] \cdot [/mm] y + x = 0$ mit $y'(0) = 5$ [mm] $\Leftrightarrow [/mm] y ' = - [mm] \frac{x}{y}$ [/mm]



2.) Wähle Schrittweite $h$  aus



Die Schrittweite setze ich mal bei $h = 1$.


Die Rekursionsformel lautet in diesem Fall dann: [mm] $y_{n} [/mm] = [mm] y_{n - 1} [/mm] + h [mm] \cdot f(t_{n - 1}, y_{n - 1}) [/mm] = [mm] y_{n - 1} [/mm] - [mm] \frac{t_{n - 1}}{y_{n - 1}}$, [/mm] $n = 1, [mm] \ldots, [/mm] N$.

Setze $N = 3$


3.) Führe Rekursionsformel für $N = 3$ aus.



Für $n = 1$: [mm] $y_{1} [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] - [mm] \frac{t_{0}}{y_{0}} [/mm] = 5 - [mm] \frac{0}{5} [/mm]  = 5$  

Für $n = 2$: [mm] $y_{2} [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] - [mm] \frac{t_{1}}{y_{1}} [/mm] = 5 - [mm] \frac{1}{5} [/mm]  = 4.8$  

Für $n = 3$: [mm] $y_{3} [/mm] = [mm] y_{2} [/mm] - [mm] \frac{t_{2}}{y_{2}} [/mm] = 4.8 - [mm] \frac{2}{4.8} [/mm]  = 4.38$  



Das Ergebnis wird wahrscheinlich sehr ungenau sein, aber trotzdem.


Meine Frage ist nun: Wie bestimme ich die approximierte Lösung der obigen DGL ? Weil bis jetzt habe ich nur Zahlen [mm] $y_{1}, y_{2}$ [/mm] und [mm] $y_{3}$ [/mm] berechnet.


Aber wie bestimmt man daraus die approximierte Lösung der DGL ?




Freue mich auf eure Antworten.

Schönen Tag noch :)


        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Di 28.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Frage ist nun: Wie bestimme ich die approximierte
> Lösung der obigen DGL ? Weil bis jetzt habe ich nur Zahlen
> [mm]y_{1}, y_{2}[/mm] und [mm]y_{3}[/mm] berechnet.
>  
>
> Aber wie bestimmt man daraus die approximierte Lösung der
> DGL ?

Diese Zahlen sind deine approximierte Lösung… das explizite Euler-Verfahren ist ein numerisches Verfahren, d.h. du approximierst die Lösung, in dem du einzelne Werte berechnest und diese dann verbindest. Das siehst du schon daran, dass deine Rekursionsformel dir exakt N Punkte liefert.
D.h. formal könnte man das N-Tupel [mm] $((t_0,y_0), (t_1,y_1), \ldots,(t_N,y_N))$ [/mm] als "approximierte Lösung der DGL" bezeichnen.

Heißt: Plotte deine Lösung und du bist "fertig".

Wenn du wirklich eine Funktion als Lösung haben willst, könntest du nun noch versuchen durch die errechneten N Punkte eine Funktion zu legen, z.B. durch Polynominterpolation.
Der Aufwand ist aber recht hoch und widerspricht dem Sinn einer numerischen Lösung…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Di 28.01.2020
Autor: HJKweseleit


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Guten Nachmittag.
>  
>
>
> Ich möchte gerne mit dem Eulerschen Polygunzugverfahren
> die Lösung der DGL [mm]y ' \cdot y + x = 0[/mm] mit [mm]y'(0) = 5[/mm]
> approximieren.
>  
> Ist bestimmt nicht schwer, aber bin mit dem Verfahren noch
> nicht so vertraut.
>  
>
> Meine Vorgehensweise ist folgende:
>  
>
>
>
> 1.) Stelle DGL nach [mm]y'[/mm] um
>  
>
> [mm]y ' \cdot y + x = 0[/mm] mit [mm]y'(0) = 5[/mm] [mm]\Leftrightarrow y ' = - \frac{x}{y}[/mm]
>  


Nun siehst du: Wenn x=0 ist, muss

a) auch y'=0 sein, also geht y'(0)=5 nicht

oder

b) auch y=0 sein, dann wäre [mm] -\bruch{x}{y} [/mm] unbestimmt und könnte somit auch 5 sein.

Andere Möglichkeiten für y'(0)=5 gibt es nicht.

Bezug
                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 Di 28.01.2020
Autor: sina10

Okay, jetzt verstehe ich das besser! War gestern Nacht voll verwirrt, weil ich nicht wusste, was mir das Verfahren bringen soll...

Ich bedanke mich bei euch:)


Grüße, Sina

Bezug
                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Mi 29.01.2020
Autor: HJKweseleit

Bemerkung:

Es handelt sich hier um Kreise um den Ursprung.

aus y*y'+x=0 folgt 2*y*y'+2*x=0 oder [mm] (y^2)'+ [/mm] 2*x=0, also [mm] (y^2)'=-2*x [/mm]

Integriert:

[mm] y^2=-x^2+C. [/mm] Wegen [mm] y^2\ge [/mm] 0 und [mm] x^2\ge [/mm] 0 muss [mm] C\ge x^2 [/mm] sein, insbesondere auch [mm] C\ge [/mm] 0.

Nenne [mm] C=r^2, [/mm] r=konstant, so erhältst du die Gleichung

[mm] y^2=r^2-x^2 [/mm] für einen Kreis. Allerdings ist dann immer für r>0 y'(0)=0 und nie =5.

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