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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Exakte DGL
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Exakte DGL: Exakt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 So 18.03.2018
Autor: Cash33

Aufgabe
Hallo alle zusammen hier noch eine weitere Aufgabe,wo ich noch keine Ansätze hab.

Aber hoffe ,dass ich die Übungsaufgabe mit eurer Hilfe lösen kann.

Gegeben sei folgende Differentialgleichung für y =y(x)


[mm] e^x *sin(x) +e^y *cos(y) *y' = 0 [/mm]

a) Lösen sie die Differentialgleichung und geben sie eine implizite Darstellung für die Lösung an.

b) Welche Implizite Form ergibt sich für die Anfangsbedingung y(0) = 0 ?

Bitte um Tipps bei der a)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 So 18.03.2018
Autor: abakus

Wie wäre es mit Trennung der Variablen?

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 So 18.03.2018
Autor: Cash33

Ich probiere es mal wirkt aber schwer :


[mm] e^y *cos(y)*y' = -e^x *sin(x) [/mm]
[mm] e^y*cos(y)* \bruch{dy}{dx} = -e^x *sin(x) [/mm]


[mm] \integral_{-a}^{b} e^y*cos(y) \, [/mm] dy = [mm] \integral_{-a}^{b} -e^x*sin(x) \, [/mm] dx


Partiell integrieren auf beiden Seiten oder wie ?

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 So 18.03.2018
Autor: abakus

Ja, zweimal partiell integrieren. Übrigens: Auf der Seite
www.integralrechner.de
kannst du zur Kontrolle Schritt für Schritt den Weg  anzeigen lassen.

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 So 18.03.2018
Autor: Cash33

Habe es mal versucht das y Integral zu lösen :

Habe als f'(x) = cos(y)
g(x) = [mm] e^y [/mm] genommen :

= sin(y) [mm] *e^y [/mm] - [mm] \integral_{-N}^{N} sin(y)*e^y\, [/mm] dy

Was soll ich jetzt machen ?

Verpeile gerade

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 So 18.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

Sei k(x) eine der beiden Funktionen sin(x) oder cos(x).

Für Integrale vom Typ

[mm] \int{e^x*k(x) dx}[/mm]

muss man zweimal partiell integrieren.

Wenn du also hier:

>

> Habe als f'(x) = cos(y)
> g(x) = [mm]e^y[/mm] genommen :

>

> = sin(y) [mm]*e^y[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} sin(y)*e^y\,[/mm] dy

>

das gleiche Verfahren auf das hintere Integral noch ein weiteres mal anwendest, dann siehst du vermutlich selbst, wie du vollends zur Lösung kommst (auf Vorzeichen achten!).


Gruß, Diophant

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 So 18.03.2018
Autor: Cash33

Da ich ohne den integralrechner auf das Ergebnis kommen will ,frage ich mal nach und man muss es ja auch verstehen :
Habe als f'(x) = cos(y)
g(x) = [mm] e^y [/mm] genommen :

= sin(y) [mm] *e^y [/mm] - [mm] \integral_{-N}^{N} sin(y)*e^y\, [/mm] dy

Jetzt das rechte Integral wie von Diophont gesagt nochmal partiell integriert :

f'(x) = sin(y) ....

Partiell integriert:

-cos(y) [mm] *e^y [/mm] -   [mm] \integral_{-N}^{N} -cos(y)*e^y\, [/mm] dy

Aber so richtig geholfen hat das nicht ?


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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 So 18.03.2018
Autor: abakus

Hallo,
irgendwann in deiner bisherigen Bildungslaufbahn solltest du mal auf die "berühmte" Aufgabe gestoßen sein, das Integral von sin²x zu berechnen. Auch da war zweimalige partielle Integration erforderlich. Erinnerst du dich, wie das scheinbar Unlösbare zu einer Lösung führte?

Sollte dir dieses Vorwissen fehlen, dann wirf deinen unangebrachten Stolz über Bord und sieh dir den Lösungsweg auf integralrechner.de an.
(Ich habe keine Lust, den gesamten Lösungsweg mühsam einzutippen, der dir dort auch präsentiert wird. Rückfragen kannst du immer noch stellen.)

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 So 18.03.2018
Autor: Cash33

Ich habe es jetzt analog wie beim Integralrechner gelöst mit f' (x) [mm] =e^y [/mm]


Zu Beginn partiell integriert :

= [mm] e^y*cos(y) [/mm] - [mm] \integral_{-N}^{N} -e^y*sin(y)\, [/mm] dy

Jetzt das 2 te Integral integriert analog mit f'(x) = [mm] e^y [/mm]

= [mm] e^y*-sin(y) [/mm] - [mm] \integral_{-N}^{N} -e^y*cosy\, [/mm] dy


Jetzt haben die beim Integralrechner irgendwie eine Linearität angewendet um auf das Ergebnis zu kommen ?
Was machen die da genau?

Ich verstehe das nicht .

screenshot ist im Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 So 18.03.2018
Autor: chrisno

Da wir nur das Minuszeichen vor das Integral geholt: [mm] $\int [/mm] -f(x) dx = [mm] -\int [/mm] f(x) dx$

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 So 18.03.2018
Autor: Cash33


> Ich habe es jetzt analog wie beim Integralrechner gelöst
> mit f' (x) [mm]=e^y[/mm]
>  
>
> Zu Beginn partiell integriert :
>  
> = [mm]e^y*cos(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*sin(y)\,[/mm] dy
>  
> Jetzt das 2 te Integral integriert analog mit f'(x) = [mm]e^y[/mm]
>  
> = [mm]e^y*-sin(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*cosy\,[/mm] dy
>  
>
> Jetzt haben die beim Integralrechner irgendwie eine
> Linearität angewendet um auf das Ergebnis zu kommen ?
>  Was machen die da genau?
>  
> Ich verstehe das nicht .
>  
> screenshot ist im Anhang

Was muss ich den machen genau wenn ich das zweimal partiell integriert hab ?

Ich verstehe nicht wie die zur Lösung kommen?

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Mo 19.03.2018
Autor: chrisno


> > Jetzt das 2 te Integral integriert analog mit f'(x) = [mm]e^y[/mm]
>  >  
> > = [mm]e^y*-sin(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*cosy\,[/mm] dy
> ....
> Was muss ich den machen genau wenn ich das zweimal partiell
> integriert hab ?

Auf beiden Seiten [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*cosy\,[/mm] dy addieren und durch 2 teilen.

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Bezug
Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Mo 19.03.2018
Autor: Cash33


> > Ich habe es jetzt analog wie beim Integralrechner gelöst
> > mit f' (x) [mm]=e^y[/mm]
>  >  
> >
> > Zu Beginn partiell integriert :
>  >  
> > = [mm]e^y*cos(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*sin(y)\,[/mm] dy
>  >  
> > Jetzt das 2 te Integral integriert analog mit f'(x) = [mm]e^y[/mm]
>  >  
> > = [mm]e^y*-sin(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*cosy\,[/mm] dy
>  >  
> >
> > Jetzt haben die beim Integralrechner irgendwie eine
> > Linearität angewendet um auf das Ergebnis zu kommen ?
>  >  Was machen die da genau?
>  >  
> > Ich verstehe das nicht .
>  >  
> > screenshot ist im Anhang
>
> Was muss ich den machen genau wenn ich das zweimal partiell
> integriert hab ?
>  
> Ich verstehe nicht wie die zur Lösung kommen?


Ok ich addiere mal das obere Integral dazu:
[mm]e^y*-sin(y)[/mm] +     [mm]e^y*cos(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*sin(y)\,[/mm] dy    - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*cosy\,[/mm] dy+[mm]e^y*cos(y)[/mm] - [mm]\integral_{-N}^{N} -e^y*sin(y)\,[/mm] dy


Habe mal auf beiden Seiten das Integral addiert ?

Durch 2 wollte ich am Ende teilen ,aber warum soll man das ?
Wie kommst du darauf ?

Wie vereinfache ich jetzt den oberen Term?

Bezug
                                                                                        
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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Mo 19.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

ich rechne es dir vor (da ich nichts davon halte, Usern unangebrachten Stolz vorzuwerfen, nur weil ich zu faul zum Tippen bin...).

Also, fangen wir an (ich werde im folgenden stets die gesamte Rechnung im Zusammenhang posten, vielleicht kannst du es dann besser nachvollziehen):

Zu berechnen ist

[mm] \int{e^x*cos(x) dx}[/mm]

Wir wählen

[mm] \begin{aligned} u'(x)&=cos(x)\\ v(x)&=e^x\\ \end{aligned} [/mm]

Wobei: bei dieser Art von Integral ist die Wahl egal, es funktioniert in jedem Fall.


Also haben wir zunächst

[mm]\begin{aligned} \int{e^x*cos(x) dx}&=e^x*sin(x)- \int{e^x*sin(x) dx}\\ \end{aligned}[/mm]

Jetzt führen wir für das hintere Integral eine weitere partielle Integration durch, mit

[mm] \begin{aligned} u'(x)&=sin(x)\Rightarrow{u(x)=-cos(x)}\\ v(x)&=e^x \end{aligned} [/mm]

Das sieht dann so aus:

[mm]\begin{aligned} \int{e^x*cos(x) dx}&=e^x*sin(x)- \int{e^x*sin(x) dx}\\ \\ &=e^x*sin(x)-\left(-e^x*cos(x)- \int{(-e^x*cos(x)) dx}\right)\\ \\ &=e^x*sin(x)-\left(-e^x*cos(x)+ \int{e^x*cos(x) dx}\right)\\ \\ &=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)- \int{e^x*cos(x) dx}\\ \\ &=e^x*\left(cos(x)+sin(x)\right)-\int{e^x*cos(x) dx}\\ \end{aligned}[/mm]

Jetzt versuche mal, das bis hierher genau nachzuvollziehen. Der Witz an der Sache ist jetzt der, dass das zu berechnende Integral auf der rechten Seite wieder auftaucht, und zwar mit negativem Vorzeichen. Also bringen wir es durch Addition auf die linke Seite und dividieren durch 2, wie schon gesagt wurde:

[mm]\begin{aligned} \int{e^x*cos(x) dx}&=e^x*sin(x)- \int{e^x*sin(x) dx}\\ \\ &=e^x*sin(x)-\left(-e^x*cos(x)- \int{(-e^x*cos(x)) dx}\right)\\ \\ &=e^x*sin(x)-\left(-e^x*cos(x)+ \int{e^x*cos(x) dx}\right)\\ \\ &=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)- \int{e^x*cos(x) dx}\\ \\ &=e^x*\left(cos(x)+sin(x)\right)-\int{e^x*cos(x) dx}\ \ \ \ \gdw\\ \\ 2\int{e^x*cos(x) dx}&=e^x*\left(cos(x)+sin(x)\right)\ \ \ \ \Rightarrow\\ \\ \int{e^x*cos(x) dx}&=\frac{e^x}{2}*\left(cos(x)+sin(x)\right)+C \end{aligned}[/mm]

Beim anderen für die Lösung der DGL erforderlichen Integral läuft das dann sinngemäß genauso ab. Die Vorgehensweise sollte man sich merken.

Ist es jetzt klarer geworden?


Gruß, Diophant

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Mo 19.03.2018
Autor: Cash33

Danke jetzt ist es klarer geworden .
Hatte glaub ich bei dem Vorzeichen nicht die Klammer Regel beachtet ,sodass es kein - vor dem rechten Integral gab.

Man muss da extrem aufpassen .

Jetzt habe ich sozusagen das auf beiden Seiten stehen bei der DGL gedacht:

[mm] \frac{e^y}{2}*\left(cos(y)+sin(y)\right) [/mm] = [mm] -\bruch{e^x*(sin(x)-cos(x))}{2} [/mm] +C
Was mache ich jetzt genau ?
Irgendwie die Gleichung nach y auflösen ?

y =ln(  [mm] -\bruch{e^x*(sin(x)-cos(x))}{ \left(cos(y)+sin(y)\right) }+C*\bruch{2}{ \left(cos(y)+sin(y)\right) } [/mm]

Das wäre die a)?

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Mo 19.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke jetzt ist es klarer geworden .
> Hatte glaub ich bei dem Vorzeichen nicht die Klammer Regel
> beachtet ,sodass es kein - vor dem rechten Integral gab.

>

> Man muss da extrem aufpassen .

>

> Jetzt habe ich sozusagen das auf beiden Seiten stehen bei
> der DGL gedacht:

>

> [mm]\frac{e^y}{2}*\left(cos(y)+sin(y)\right)[/mm] =
> [mm]-\bruch{e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}[/mm] +C

Ja, das passt. [ok]

> Was mache ich jetzt genau ?
> Irgendwie die Gleichung nach y auflösen ?

Nein, das würde gar nicht funktionieren. In der Aufgabenstellung ist doch explizit gefordert, die Lösungsfunktionen implizit dargestellt anzugeben (das Wortspiel konnte ich mir nicht verkneifen, sorry ;-) ).

Also alles auf die Nullform bringen, eine kleine Vereinfachung ist dann auch noch drin.

Und bei b) dann wieder die Konstante so berechnen, dass y(0)=0 gilt. Das bedeutet ja, wenn wir mal etwas geometrisch denken, dass der Koordinatenursprung (0,0) die entsprechende implizite Gleichung lösen muss.


Gruß, Diophant

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Mo 19.03.2018
Autor: Cash33

Was meinst du genau mit Nullform ?

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Mo 19.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Was meinst du genau mit Nullform ?

Schulwissen! Alle Terme auf eine Seite bringen, so dass auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens Null steht.

Falls du irgendwelche brauchbaren Lernunterlagen hast schlage nach unter implizite Funktionen, das hier wäre noch die zugehörige []Wikipedia-Seite zum Thema.


Gruß, Diophant

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Mo 19.03.2018
Autor: Cash33

[mm]\frac{e^y}{2}*\left(cos(y)+sin(y)\right)[/mm] [mm] +\bruch{e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}-C=0 [/mm]

[mm] \bruch{e^y*(cos(y)+sin(y)+e^x*(sin(x)-cos(x))}{2} [/mm] - C = 0


Das sollte vereinfacht genug sein?

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mo 19.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\frac{e^y}{2}*\left(cos(y)+sin(y)\right)[/mm]
> [mm]+\bruch{e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}-C=0[/mm]

>

> [mm]\bruch{e^y*(cos(y)+sin(y)+e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}[/mm] - C = 0

>
>

> Das sollte vereinfacht genug sein?

ich halte dagegen:

Sei C=-2c, und man bekommt (durch Multiplikation mit 2):


[mm]\begin{aligned} \bruch{e^y*(cos(y)+sin(y))+e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}-C&=0\ \ \ \gdw\\ \\ e^y*(cos(y)+sin(y))+e^x*(sin(x)-cos(x))+c&=0 \end{aligned}[/mm]

PS: beachte auch noch deinen Klammerfehler (den beiden von y abhängigen Kreisfunktionen fehlt die schließende Klammer).


Gruß, Diophant

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Exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Mo 19.03.2018
Autor: Cash33


> Hallo,
>  
> > [mm]\frac{e^y}{2}*\left(cos(y)+sin(y)\right)[/mm]
>  > [mm]+\bruch{e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}-C=0[/mm]

>  >
>  > [mm]\bruch{e^y*(cos(y)+sin(y)+e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}[/mm] - C =

> 0
>  >
>  >
>  > Das sollte vereinfacht genug sein?

>  
> ich halte dagegen:
>  
> Sei C=-2c, und man bekommt (durch Multiplikation mit 2):
>  
>
> [mm]\begin{aligned} \bruch{e^y*(cos(y)+sin(y))+e^x*(sin(x)-cos(x))}{2}-C&=0\ \ \ \gdw\\ \\ e^y*(cos(y)+sin(y))+e^x*(sin(x)-cos(x))+c&=0 \end{aligned}[/mm]
>  
> PS: beachte auch noch deinen Klammerfehler (den beiden von
> y abhängigen Kreisfunktionen fehlt die schließende
> Klammer).
>  
>
> Gruß, Diophant


Schlau.

Man sieht es eigentlich das man C = 0 wählen kann ?
Hoffe dass ich mich  nicht gerade blamiert hab

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Exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mo 19.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Man sieht es eigentlich das man C = 0 wählen kann ?
> Hoffe dass ich mich nicht gerade blamiert hab

Nein, hast du nicht. c=0 bringt die Lösung für Teilaufgabe b). [ok]


Gruß, Diophant

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