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| Aufgabe | | Beweisen sie, dass die Diferentialform [mm] \bruch{-ydx + xdy}{x^2+y^2}, [/mm] (x.y) [mm] \not= [/mm] (0,0) geschlossen ist. Beweisen sie, dass sie nicht exakt ist. |
Hallo, ich habe hier nur eine kleine Rueckfrage.
Wie die Aufgabe zu loesen ist weiss ich. Es gilt:
[mm] \bruch{-ydx + xdy}{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2}
[/mm]
Wenn ich nun bennene:
[mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2} [/mm] = M
[mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2} [/mm] = N
Dann muss ich fuer die Geschlossenheit nur zeigen, dass: [mm] \bruch{\partial M}{\partial y}= \bruch{\partial N}{\partial x}.
[/mm]
Gut, fuer die nicht-Exaktheit muss ich nur beweisen, dass ein geschlossene Linienintegral ueber [mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2} [/mm] nicht 0 ist. Kein Problem, es kommt raus, dass die Integralform nicht exakt ist.
Jetzt kommt meine Frage: Wenn ich nun schreiben wuerde:
[mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2} [/mm] = 0
Dann wuerde diese Gleichung doch alle Vorraussetzung fuer eine exakte DiffernetialGLEICHUNG erfuellen. (denn [mm] \bruch{\partial M}{\partial y}= \bruch{\partial N}{\partial x})
[/mm]
Es waere also eine exakte Differentialgleichung.
Kann ich daraus schliessen, dass ich aus einer nicht exakten Diffentialform eine exakte Differntialgleichung bauen kann? Dass es sich dabei also um grundsaetzlich 2 verschiedene Dinge handelt? (mal von der gemeinsamen Bedingung [mm] \bruch{\partial M}{\partial y}= \bruch{\partial N}{\partial x} [/mm] abgesehen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Fr 12.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen sie, dass die Diferentialform [mm]\bruch{-ydx + xdy}{x^2+y^2},[/mm]
> (x.y) [mm]\not=[/mm] (0,0) geschlossen ist. Beweisen sie, dass sie
> nicht exakt ist.
> Hallo, ich habe hier nur eine kleine Rueckfrage.
> Wie die Aufgabe zu loesen ist weiss ich. Es gilt:
> [mm]\bruch{-ydx + xdy}{x^2+y^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2}[/mm]
> Wenn ich nun bennene:
> [mm]\bruch{-ydx}{x^2+y^2}[/mm] = M
> [mm]\bruch{-ydx}{x^2+y^2}[/mm] = N
> Dann muss ich fuer die Geschlossenheit nur zeigen, dass:
> [mm]\bruch{\partial M}{\partial y}= \bruch{\partial N}{\partial x}.[/mm]
>
> Gut, fuer die nicht-Exaktheit muss ich nur beweisen, dass
> ein geschlossene Linienintegral ueber
> [mm]\bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2}[/mm] nicht 0 ist.
> Kein Problem, es kommt raus, dass die Integralform nicht
> exakt ist.
>
> Jetzt kommt meine Frage: Wenn ich nun schreiben wuerde:
> [mm]\bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2}[/mm] = 0
Aus welchem Grund sollte das gelten ??????
FRED
> Dann wuerde diese Gleichung doch alle Vorraussetzung fuer
> eine exakte DiffernetialGLEICHUNG erfuellen. (denn
> [mm]\bruch{\partial M}{\partial y}= \bruch{\partial N}{\partial x})[/mm]
>
> Es waere also eine exakte Differentialgleichung.
> Kann ich daraus schliessen, dass ich aus einer nicht
> exakten Diffentialform eine exakte Differntialgleichung
> bauen kann? Dass es sich dabei also um grundsaetzlich 2
> verschiedene Dinge handelt? (mal von der gemeinsamen
> Bedingung [mm]\bruch{\partial M}{\partial y}= \bruch{\partial N}{\partial x}[/mm]
> abgesehen)
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"Aus welchem Grund sollte das gelten ?????? "
Ich meine nur, wenn die Frage gelautet haette zu beweisen, dass
[mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2} [/mm] = 0
eine exakte Differentialgleichung ist, dann waere die Antwort positiv, obwohl
[mm] \bruch{-ydx}{x^2+y^2}+\bruch{xdy}{x^2+y^2} [/mm] eine NICHT exakte Differentialform ist.
Die Frage war also rein prinzipiell: Stimmt meine Annahme, dass ich aus einer nicht exakten Differentialform eine exakte Differentialgleichung basteln kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 14.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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