Existenz Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 08.10.2010 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]F \in End(V)[/mm]
Zu zeigen:
Es existiert eine F-invariante Fahne [mm]\Rightarrow[/mm] es ex. ein Eigenvektor. |
Hallo!
Ich weiß mal wieder nicht, ob der Beweis richtig ist. Hab lange nachgedacht, aber bin mir immer noch unsicher.
Mein Vorschlag:
Es gibt eine F-invariante Fahne, also ex. der Unterraum [mm]V_{1} \subset V[/mm] mit [mm]F(V_{1}) \subset V_{1}[/mm].
Da dim([mm]V_{1}[/mm])=1 sind die Elemente aus [mm]V_{1} : k*v \in V_{1}[/mm] mit [mm]k \in K.[/mm]
Wobei v der Basisvektor des Unterraums und ungleich Null ist.
Weil [mm]F(v) \in V_{1}[/mm], existiert ein [mm]\lambda \in K[/mm] mit [mm]F(v) = \lambda*v[/mm]
Somit ist v ein Eigenvektor.
Was haltet ihr von dem Beweis?
Vielen Dank, dass ihr euch die Zeit nehmt!
Ich habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 08.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]F \in End(V)[/mm]
> Zu
> zeigen:
> Es existiert eine F-invariante Fahne [mm]\Rightarrow[/mm] es ex.
> ein Eigenvektor.
>
> Ich weiß mal wieder nicht, ob der Beweis richtig ist. Hab
> lange nachgedacht, aber bin mir immer noch unsicher.
>
> Mein Vorschlag:
Dein Beweis stimmt, allerdings ist er nicht perfekt aufgeschrieben :)
> Es gibt eine F-invariante Fahne, also ex. der Unterraum
> [mm]V_{1} \subset V[/mm] mit [mm]F(V_{1}) \subset V_{1}[/mm].
Das impliziert, als wenn [mm] $V_1$ [/mm] eindeutig bestimmt ist. Das stimmt aber nicht.
Besser: Sei [mm] $V_0, \dots, V_n$ [/mm] eine $F$-invariante Fahne, also [mm] $F(V_i) \subseteq V_i$ [/mm] und [mm] $\dim V_i [/mm] = i$.
> Da
> dim([mm]V_{1}[/mm])=1 sind die Elemente aus [mm]V_{1} : k*v \in V_{1}[/mm]
> mit [mm]k \in K.[/mm]
> Wobei v der Basisvektor des Unterraums und
> ungleich Null ist.
Auch hier: es gibt nicht den Basisvektor, sondern sehr viele davon! (Alle Elemente aus [mm] $V_1$ [/mm] die [mm] $\neq [/mm] 0$ sind, sind ein Basisvektor von [mm] $V_1$.)
[/mm]
Schreib lieber: Da [mm] $\dim V_1 [/mm] = 1$ ist, gibt es eine Basis der Laenge 1; sei $v$ ein solcher Basisvektor.
> Weil [mm]F(v) \in V_{1}[/mm], existiert ein [mm]\lambda \in K[/mm] mit [mm]F(v) = \lambda*v[/mm]
>
> Somit ist v ein Eigenvektor.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 So 10.10.2010 | | Autor: | ilfairy |
.. für den Feinschliff! Ordentliches Aufschreiben muss ich wohl noch lernen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> .. für den Feinschliff!
Bitte! :)
> Ordentliches Aufschreiben muss ich wohl noch lernen.
Das muss man immer erst :) Und hier gilt: Uebung macht den Meister. (Und man braucht natuerlich auch jemanden, der einen sagt was nicht gut ist und was man verbessern kann...)
LG Felix
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