Existenz W'keitsmaß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Fr 28.04.2017 | | Autor: | MaSch882 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \Omega [/mm] := [mm] (0,1]\cap \IQ. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie die Behauptung, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf [mm] \Omega [/mm] gibt, wenn für 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] 1, [mm] a,b\in\IR [/mm] gilt: [mm] P([a,b)\cap \Omega) [/mm] = b-a. |
Hallo!
Leider fehlt mir bei obiger Aufgabe komplett der Ansatz, da ich nicht wirklich weiß, was ich hier tun soll.
Ich versuche erstmal, grob zu beschreiben, wo ich gerade stehe.
Eine Abbildung [mm] P:\mathcal{P}(\Omega)\rightarrow[0,1] [/mm] ist ein W'keitmaß gdw. es eine Zähldichte [mm] f:\Omega\rightarrow[0,1] [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] gibt, so dass [mm] \forall A\subset \Omega [/mm] gilt: [mm] \sum\limits_{\omega \in A}f(\omega)=P(A). [/mm] Dies ist gemäß der Vorlesung weiter genau dann der Fall, wenn f ein Wahrscheinlichkeitsinhalt ist, der [mm] \sigma [/mm] -additiv ist.
Ich habe mir bisher überlegt, dass die Voraussetzung dann ja zu der Forderung
[mm] \sum\limits_{w\in[a,b)\cap\Omega}f(w) \stackrel{!}{=}b-a [/mm] führt. An dieser Stelle weiß ich nun allerdings nicht weiter.
Meine Frage daher:
Muss ich nun ein f so definieren, dass es die Forderung erfüllt? Oder andersherum: Wie kann ich widerlegen, dass ein solches f existiert? Mir fehlt da leider total der Ansatz.
Schon einmal vielen Dank für Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 28.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MaSch882 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Sei [mm]\Omega[/mm] := [mm](0,1]\cap \IQ.[/mm] Beweisen oder widerlegen Sie
> die Behauptung, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf
> [mm]\Omega[/mm] gibt, wenn für 0 [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] b [mm]\le[/mm] 1, [mm]a,b\in\IR[/mm] gilt:
> [mm]P([a,b)\cap \Omega)[/mm] = b-a.
(Es ist wohl "so dass" statt "wenn" gemeint.)
> Ich versuche erstmal, grob zu beschreiben, wo ich gerade
> stehe.
> Eine Abbildung [mm]P:\mathcal{P}(\Omega)\rightarrow[0,1][/mm] ist
> ein W'keitmaß gdw. es eine Zähldichte
> [mm]f:\Omega\rightarrow[0,1][/mm] auf [mm]\Omega[/mm] gibt, so dass [mm]\forall A\subset \Omega[/mm]
> gilt: [mm]\sum\limits_{\omega \in A}f(\omega)=P(A).[/mm] Dies ist
> gemäß der Vorlesung weiter genau dann der Fall, wenn f
(P, nicht f.)
> ein Wahrscheinlichkeitsinhalt ist, der [mm]\sigma[/mm] -additiv
> ist.
Ja.
> Ich habe mir bisher überlegt, dass die Voraussetzung dann
> ja zu der Forderung
> [mm]\sum\limits_{w\in[a,b)\cap\Omega}f(w) \stackrel{!}{=}b-a[/mm]
> führt.
Genau.
Gute Vorarbeit und gut, dass du uns über eure Definitionen und Notationen in Kenntnis setzt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fixieren wir mal vorübergehend ein [mm] $\omega_0\in\Omega$. [/mm] Wie groß oder klein müsste [mm] $f(\omega_0)$ [/mm] sein?
Es müsste [mm] $f(\omega_0)\le\sum\limits_{w\in[a,b)\cap\Omega}f(w)=b-a$ [/mm] für alle [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] mit [mm] $0\le a\le b\le1$ [/mm] und [mm] $\omega_0\in[a,b)$ [/mm] gelten.
Kann also z.B. [mm] $f(\omega_0)=\frac12$ [/mm] gelten?
Kann [mm] $f(\omega_0)=\frac13$ [/mm] gelten?
Kann [mm] $f(\omega_0)=\frac14$ [/mm] gelten?
Fällt dir etwas auf?
> An dieser Stelle weiß ich nun allerdings nicht
> weiter.
>
> Meine Frage daher:
> Muss ich nun ein f so definieren, dass es die Forderung
> erfüllt? Oder andersherum: Wie kann ich widerlegen, dass
> ein solches f existiert? Mir fehlt da leider total der
> Ansatz.
Versuchen wir erst einmal mit obiger Überlegung festzustellen, wie die Zähldichte $f$ aussehen müsste.
Dann können wir entweder zeigen, dass eine solche Zähldichte das Gewünschte leistet oder dass es keine solche Zähldichte geben kann.
Ich habe bewusst meine Hinweise knapp gehalten, da du so möglicherweise selbst auf die Lösung kommst.
Wenn es zu knapp war, bitte einfach nachfragen!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Fr 28.04.2017 | | Autor: | MaSch882 |
Hallo tobit09,
erst einmal danke für Deine Antwort. Deine vorgeschlagenen Änderungen zu meiner Vorüberlegung stimmen alle, das waren Tippfehler meinerseits.
Zu deiner Antwort:
Ich habe das mal weitergedacht.
Sei also [mm] \omega_0\in\Omega [/mm] fixiert. Dann muss [mm] f(\omega_0)\le\sum\limits_{\omega\in[a,b)\cap\Omega}f(\omega)=b-a [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR [/mm] mit [mm] 0\le a\le b\le1 [/mm] gelten. Da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt, ist [mm] (0,1]\cap\IQ\neq\emptyset. [/mm] Da P ein W'keitsmaß ist, muss zudem gelten [mm] \sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=1. [/mm] Zusammen folgt so also
[mm] f(\omega_0)=0~\forall\omega_0\in\Omega.
[/mm]
Dies impliziert dann allerdings [mm] \sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=0, [/mm] was im Widerspruch dazu steht, dass P ein W'keitsmaß ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt kein solches W'keitsmaß.
Geht das in die richtige Richtung oder ist da irgendwo ein Denkfehler drin?
Danke schon mal im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 28.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
> Sei also [mm]\omega_0\in\Omega[/mm] fixiert. Dann muss
> [mm]f(\omega_0)\le\sum\limits_{\omega\in[a,b)\cap\Omega}f(\omega)=b-a[/mm]
> für alle [mm]a,b\in\IR[/mm] mit [mm]0\le a\le b\le1[/mm] gelten.
Das muss erst einmal nur gelten für alle diese a, b mit [mm] $\omega_0\in[a,b)$.
[/mm]
> Da [mm]\IQ[/mm]
> dicht in [mm]\IR[/mm] liegt, ist [mm](0,1]\cap\IQ\neq\emptyset.[/mm]
Nicht falsch. Trotzdem zwei Einwände:
- Etwas mit Kanonen auf Spatzen geschossen: [mm](0,1]\cap\IQ\neq\emptyset[/mm] kann man einfacher z.B. durch [mm] $\frac12\in(0,1]\cap\IQ$ [/mm] begründen
- Das brauchen wir gar nicht wirklich, oder?
> Da P ein
> W'keitsmaß ist, muss zudem gelten
> [mm]\sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=1.[/mm]
Ja.
> Zusammen folgt so
> also
> [mm]f(\omega_0)=0~\forall\omega_0\in\Omega.[/mm]
Wie begründest du das?
Ich würde wie folgt argumentieren:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] müsste mit [mm] $a:=\omega_0$ [/mm] und [mm] $b:=\min(\omega_0+\varepsilon,1)$ [/mm] wegen [mm] $0\le a\le b\le [/mm] 1$ und [mm] $\omega_0\in[a,b)$ [/mm] gelten:
[mm] $f(\omega_0)\le [/mm] b-a [mm] \le (\omega_0+\varepsilon)-\omega_0=\varepsilon$.
[/mm]
Also müsste [mm] $f(\omega_0)=0$ [/mm] gelten.
> Dies impliziert dann allerdings
> [mm]\sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=0,[/mm] was im
> Widerspruch dazu steht, dass P ein W'keitsmaß ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt kein solches W'keitsmaß.
Ja.
> Geht das in die richtige Richtung oder ist da irgendwo ein
> Denkfehler drin?
Vermutlich beides! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Fr 28.04.2017 | | Autor: | MaSch882 |
Die Dichte von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] hatte ich dazu mit aufgeführt, um zu argumentieren, dass es unendlich viele beliebig kleine W'keiten geben muss, was allerdings eher intuitiv statt mathematisch argumentiert wäre.
An eine Formulierung mittels [mm] \varepsilon [/mm] -Argument hatte ich auch schon gedacht, hab es allerdings nicht richtig hinbekommen, so dass ich für deinen - eigentlich recht ersichtlichen - Hinweis dankbar bin!
Ich schreib nun nochmal auf, was ich als Lösungsweg habe. Wenn das jetzt soweit stimmt, kann die Frage auf beantwortet bleiben.
Sei [mm] \omega_0\in\Omega. [/mm] Dann gilt gemäß Voraussetzung
[mm] f(\omega_0)\le\sum\limits_{\omega\in[a,b) \cap \Omega}f(\omega)=b-a~\forall~a,b [/mm] mit [mm] \omega_0\in[a,b).
[/mm]
Da P ein W'keitsmaß ist, muss ferner gelten: [mm] \sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=1~(\star) [/mm]
Sei nun [mm] \varepsilon>0. [/mm] Mit [mm] a:=\omega_0, b:=\min(\omega_0+\varepsilon,1) [/mm] und [mm] \omega_0\in[a,b) [/mm] folgt somit
[mm] f(\omega_0)\le b-a\le\omega_0+\varepsilon-\omega_0=\varepsilon.
[/mm]
Daher muss [mm] f(\omega_0)=0 [/mm] gelten für [mm] \omega_0\in\Omega.
[/mm]
Daraus folgt nun allerdings [mm] \sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=0, [/mm] was im Widerspruch zu [mm] (\star) [/mm] steht. Somit gibt es kein solches W'keitsmaß P.
Passt das jetzt so?
Und schon mal vielen Dank für die Unterstützung, hat mir schon jetzt wirklich geholfen, diese Denkblockade loszuwerden. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Fr 28.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Angenommen, es gibt ein solches Wahrscheinlichkeitsmaß P.
Dann existiert eine zu P gehörige Zähldichte f.
> Sei [mm]\omega_0\in\Omega.[/mm] Dann gilt gemäß Voraussetzung
> [mm]f(\omega_0)\le\sum\limits_{\omega\in[a,b) \cap \Omega}f(\omega)=b-a~\forall~a,b[/mm]
> mit [mm]\omega_0\in[a,b).[/mm]
und [mm] $0\le a\le b\le [/mm] 1$.
> Da P ein W'keitsmaß ist, muss ferner gelten:
> [mm]\sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=1~(\star)[/mm]
> Sei nun [mm]\varepsilon>0.[/mm] Mit [mm]a:=\omega_0, b:=\min(\omega_0+\varepsilon,1)[/mm]
> und [mm]\omega_0\in[a,b)[/mm] folgt somit
> [mm]f(\omega_0)\le b-a\le\omega_0+\varepsilon-\omega_0=\varepsilon.[/mm]
>
> Daher muss [mm]f(\omega_0)=0[/mm] gelten für [mm]\omega_0\in\Omega.[/mm]
> Daraus folgt nun allerdings
> [mm]\sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=0,[/mm] was im
> Widerspruch zu [mm](\star)[/mm] steht. Somit gibt es kein solches
> W'keitsmaß P.
>
> Passt das jetzt so?
Aus meiner Sicht ja!
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![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
