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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Existenz des Polynoms
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Existenz des Polynoms: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 23.05.2018
Autor: Tanja11

Aufgabe
Es sei A eine quadratische konstante Matrix und λ [mm] \notin [/mm] σ(A) kein Eigenwert von A. Weiter bezeichne
p = p(t) := [mm] \sum_{j=0}^k a_j t^j, [/mm] mit [mm] a_0 [/mm] ,..., [mm] a_k \in K^n [/mm]  und [mm] a_k [/mm] != 0, ein [mm] K^n-wertiges [/mm] Polynom vom Grad k.
Zu zeigen:
es gibt genau dann ein Polynom q : R → [mm] K^n [/mm] vom Grad k derart, dass x(t) := q(t) [mm] exp(\lambda [/mm] t) eine
  spezielle Lösung ist des Systems
x'(t) = Ax(t) + [mm] p(t)exp(\lambda [/mm] t)

Meine Lösung:
Sei [mm] b:=p(t)exp(\lambda [/mm] t) . für die gesuchte Lösung schreibt man x(t)= [mm] exp(\lambda [/mm] t) [mm] \sum_{j=0}^k x_j t^j. [/mm]
Einsetzen in das System liefert:
[mm] exp(\lambda [/mm] t) [mm] *\sum_{j=0}^k (x_{j+1} [/mm] + [mm] (\lambda -A)x_j [/mm] - [mm] b_j)*t^j=0. [/mm] Dabei ist [mm] x_{k+1} [/mm] =0 zu setzen.
Da [mm] t^k [/mm] linear unabhängig sind, folgt
[mm] (\lambda -A)x_j =b_j-x_{j+1} [/mm] , j=0,...,k
Also mit [mm] \lambda \notin [/mm] σ(A) folgt:
[mm] x_j =(\lambda [/mm] -A)^-1 [mm] (b_j-x_{j+1}) [/mm]    j=0,...,k



Stimmt der Weg bzw. wie könnte man es anders machen:)?
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Existenz des Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Do 24.05.2018
Autor: fred97


> Es sei A eine quadratische konstante Matrix und λ [mm]\notin[/mm]
> σ(A) kein Eigenwert von A. Weiter bezeichne
>  p = p(t) := [mm]\sum_{j=0}^k a_j t^j,[/mm] mit [mm]a_0[/mm] ,..., [mm]a_k \in K^n[/mm]
>  und [mm]a_k[/mm] != 0, ein [mm]K^n-wertiges[/mm] Polynom vom Grad k.
> Zu zeigen:
> es gibt genau dann ein Polynom q : R → [mm]K^n[/mm] vom Grad k
> derart, dass x(t) := q(t) [mm]exp(\lambda[/mm] t) eine
>    spezielle Lösung ist des Systems
>  x'(t) = Ax(t) + [mm]p(t)exp(\lambda[/mm] t)
>  Meine Lösung:
>  Sei [mm]b:=p(t)exp(\lambda[/mm] t) . für die gesuchte Lösung
> schreibt man x(t)= [mm]exp(\lambda[/mm] t) [mm]\sum_{j=0}^k x_j t^j.[/mm]
>  
> Einsetzen in das System liefert:
>  [mm]exp(\lambda[/mm] t) [mm]*\sum_{j=0}^k (x_{j+1}[/mm] + [mm](\lambda -A)x_j[/mm] -
> [mm]b_j)*t^j=0.[/mm]


Das sollte aber

(*) [mm]exp(\lambda[/mm] t) [mm]*\sum_{j=0}^k (x_{j+1}[/mm] + [mm](\lambda -A)x_j[/mm] - [mm]a_j)*t^j=0.[/mm]

lauten.

> Dabei ist [mm]x_{k+1}[/mm] =0 zu setzen.

O.K.


>  Da [mm]t^k[/mm] linear unabhängig sind,


Mit Verlaub,  das ist Quatsch !  Es ist doch [mm] t^k \in [/mm] K !!

Wegen [mm] e^{ \lambda t} \ne [/mm] 0 folgt aus (*):

[mm]\sum_{j=0}^k (x_{j+1}[/mm] + [mm](\lambda -A)x_j[/mm] - [mm]a_j)*t^j=0.[/mm]

Mit Koeffizientenvergleich bekommen wir dann

[mm](\lambda -A)x_j =a_j-x_{j+1}[/mm] , j=0,...,k

und damit

[mm]x_j =(\lambda[/mm] [mm] -A)^{-1}[/mm]  [mm](a_j-x_{j+1})[/mm]    j=0,...,k

Jetzt kann man rückwärts die [mm] x_j [/mm] ausrechnen, erst [mm] x_k [/mm] (es ist ja [mm] x_{k+1}=0), [/mm] dann [mm] x_{k-1}, [/mm] etc. ,,,, bis [mm] x_0. [/mm]

Damit ist gezeigt: ein Polynom q mit den gewünschten Eigenschaften ist vorhanden und weil obiges LGS für die [mm] x_j [/mm] eindeutig lösbar ist, ist q auch eindeutig bestimmt.



>  folgt
> [mm](\lambda -A)x_j =b_j-x_{j+1}[/mm] , j=0,...,k
>  Also mit [mm]\lambda \notin[/mm] σ(A) folgt:
>  [mm]x_j =(\lambda[/mm] -A)^-1 [mm](b_j-x_{j+1})[/mm]    j=0,...,k
>  
>
>
> Stimmt der Weg bzw. wie könnte man es anders machen:)?
>  ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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