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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Existenz einer globalen Lösung
Existenz einer globalen Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Existenz einer globalen Lösung: Tipp,
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mi 16.05.2018
Autor: Filza

Aufgabe
Gegeben ist folgendes System:
[mm] u'(t)=sqrt(1+u(t)^2)+v(t)^3*sin(u(t))-u(t)^7 [/mm]
[mm] v'(t)=u(t)(1-v(t)^2*sin(u(t)) [/mm]
[mm] u(0)=u_0 [/mm] und [mm] v(0)=v_0 [/mm]
Man soll zeigen dass [mm] \forall(u_0,v_0) \in \IR [/mm] genau eine Lsg [mm] \forall [/mm] t>=0 existiert.

Könnte man sagen, dass da u'(t) und v'(t) stetig sind dass es dann lipschitz stetig ist, und daraus die behauptung
Würde mich auf ein paar Ideen freuen
Vielen Dank im Voraus:)


Könnte man sagen, dass, da u'(t) und v'(t) stetig sind dass es dann lipschitz stetig ist, und daraus die behauptung folgt
Würde mich auf ein paar Ideen freuen
Vielen Dank im Voraus:)


        
Bezug
Existenz einer globalen Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:53 Do 17.05.2018
Autor: fred97


> Gegeben ist folgendes System:
>  [mm]u'(t)=sqrt(1+u(t)^2)+v(t)^3*sin(u(t))-u(t)^7[/mm]
>  [mm]v'(t)=u(t)(1-v(t)^2*sin(u(t))[/mm]
>  [mm]u(0)=u_0[/mm] und [mm]v(0)=v_0[/mm]
>  Man soll zeigen dass [mm]\forall(u_0,v_0) \in \IR[/mm] genau eine
> Lsg [mm]\forall[/mm] t>=0 existiert.
>  
> Könnte man sagen, dass da u'(t) und v'(t) stetig sind dass
> es dann lipschitz stetig ist, und daraus die behauptung

Au weia ! Sei nicht böse, aber so wie Du Deine Anfrage formulierst, scheinst Du nicht viel aus Deiner Vorlesung mitgenommen zu haben ...




>  Würde mich auf ein paar Ideen freuen
>  Vielen Dank im Voraus:)
>  
> Könnte man sagen, dass, da u'(t) und v'(t) stetig sind
> dass es dann lipschitz stetig ist, und daraus die
> behauptung folgt
>  Würde mich auf ein paar Ideen freuen
>  Vielen Dank im Voraus:)
>  


Zunächst definieren wir die Funktion $f: [mm] \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] durch

[mm] $f(u,v)=\vektor{\sqrt{1+u^2}v^3 \sin u - u^7 \\ u(1-v^2 \sin u)}$ [/mm]

Dann schreibt sich obiges Anfangswertproblem wie folgt:

[mm] \vektor{u'(t)\\ v'(t)}=f(u(t),v(t)). u(0)=u_0, v(0)=v_0. [/mm]

Nun zeige zuerst, dass f auf [mm] \IR^2 [/mm] lokal Lipschitzstetig ist. Das ist erledigt, wenn Du folgendes gemacht hast: ist (a,b) [mm] \in \IR^2, [/mm] so zeige, dass es eine Umgebung U von (a,b) gibt auf der die Jacobimatrix f'(u,v) beschränkt ist.

Dann wissen wir, dass obiges Anfangswertproblem eindeutig lösbar ist.

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig interpretiere sollst Du auch noch zeigen, dass die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems auf dem Intervall $[0, [mm] \infty)$ [/mm] existiert.

Ihr hattet mit Sicherheit Sätze, die Aussagen über das maximale Existenzintervall machen. Schau mal nach.


Bezug
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