Existenz eines Fixpunkts < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Fr 04.01.2008 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | (1) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a [mm] \le [/mm] b, und sei f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b] stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt, dass also ein x [mm] \in [/mm] [a,b] existiert mit f(x) = x.
(2) Bleibt die Aussage in (1) wahr, wenn man das abgeschlossene Intervall [a,b] durch ein beliebiges Intervall ersetzt?
(3) Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und beschränkt. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt. |
Hallo, ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu bearbeiten. Für (1) habe ich bisher folgendenden Ansatz:
Zu (1):
Besitzt f einen Fixpunkt, so muss die Funktion g(x) = x - f(x) mindestens eine Nullstelle besitzen (x [mm] \in [/mm] [a,b]).
Es gilt:
g(a) = a - f(a)
g(b) = b - f(b)
Jetzt scheint sich mir der Nullstellensatz von Bolzano anzubieten. Also müsste ich irgendwie zeigen, dass gilt g(a) * g(b) < 0.
Also muss ich zeigen, dass entweder g(a) > 0 & g(b) < 0 oder g(a) < 0 & g(b) > 0 gilt.
Dann wäre ich ja fertig.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich diesen Beweis angehen soll. Ich habe mir ein paar Skizzen aufgemalt und mir ist nicht klar, wieso ausschließlich diese beiden Fällen auftreten sollten. Wieso nicht z.B. auch g(a) > 0 & g(b) > 0?
Zu (2):
Hier habe ich gar keine Ahnung. Ich denke, die Aussage bleibt wahr, aber begründen kann ich es nicht.
Zu (3):
Hier habe ich ebenfalls noch keinen Ansatz. Mir ist auch völlig unklar, wieso dies gelten soll
Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (1) Seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\le[/mm] b, und sei f: [a,b] [mm]\to[/mm]
> [a,b] stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt,
> dass also ein x [mm]\in[/mm] [a,b] existiert mit f(x) = x.
>
> (2) Bleibt die Aussage in (1) wahr, wenn man das
> abgeschlossene Intervall [a,b] durch ein beliebiges
> Intervall ersetzt?
>
> (3) Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig und beschränkt. Zeigen Sie,
> dass f einen Fixpunkt besitzt.
> Hallo, ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu bearbeiten.
> Für (1) habe ich bisher folgendenden Ansatz:
>
> Zu (1):
> Besitzt f einen Fixpunkt, so muss die Funktion g(x) = x -
> f(x) mindestens eine Nullstelle besitzen (x [mm]\in[/mm] [a,b]).
Hallo,
genau.
Arbeite doch mit dem Zwischenwertsatz.
1. Fall: f(a)=a.
Dann haben wir den Fixpunkt bereits gefunden.
2. Fall : f(a)>a
a) f(b)=b Fixpunkt!
b) f(b)<b
Betrachte g(x) im Intervall [a, b] und wende den Zwischenwertsatz an.
> Zu (2):
> Hier habe ich gar keine Ahnung. Ich denke, die Aussage
> bleibt wahr, aber begründen kann ich es nicht.
Nein, die Aussage bleibt nicht wahr.
Hinweis:
Der Graph der Funktion f könnte in diesem Fall im ganzen Intervall oberhalb der Winkelhalbierenden verlaufen, weil er durch die Offenheit des Intervalls nicht gezwungen wird, in a und b die Funktionswerte a bzw. b anzunehmen.
>
> Zu (3):
> Hier habe ich ebenfalls noch keinen Ansatz. Mir ist auch
> völlig unklar, wieso dies gelten soll
Tip:
Die Funktionswerte liegen also zwischen c und -c aufgrund der Beschränktheit der Funktion.
Wenn die Funktion keine Fixpunkt hat, schneidet sie h(x):=x nicht.
Sie verläuft also im ganzen Def.bereich entweder darunter oder darüber.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 05.01.2008 | | Autor: | MrFair |
Hallo Angela,
schonmal vielen Dank für deine Hilfe. Aber ich habe da noch ein paar Fragen.
Zu (1):
Bis zu deinem Punkt 2.b) ist mir alles klar. Das der Fixpunkt gleich a oder b sein könnte, ist ja verrständlich und daran habe ich auch gedacht, ich habs blos nicht hingeschrieben. Aber bei 2. b) steig ich dann aus.
Ich verstehe nicht ganz, wie mir hier der Zwischenwertsatz helfen soll?
Der Zwischenwertsatz, den wir in der Vorlesung gelernt haben, sagt folgendes aus: Es sei a < b und f eine in [a,b] stetige Funktion. Weter sei [mm] y_{0} [/mm] zwischen f(a) und f(b). Dann existiert ein [mm] x_{0} \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_{0})=y_{0}
[/mm]
Also grob gesagt, dass alle y-Werte zwischen a und b angenommen werden. Aber wie hilft mir das? Wüsste ich, dass f(a) < 0 und b > 0ist, dann wäre es mir klar, da dann nach Zwischenwertsatz ein x mit g(x) = 0 existieren muss. Da wäre ich ja fertig.
Aber was ist mir f(a)<0 und b<0 oder f(a)>0 und b>0? Das kann ich doch nicht einfach weglassen?
Irgendwie scheine ich da wohl einen großen Denkfehler zu haben oder irgendetwas nicht richtig zu verstehen.
Außerdem verstehe ich nicht, wieso man nur noch das Intervall [f(a) , b] untersuchen müsste, wieso kannst du das Intervall [a , f(a)] einfach weglassen? Kann hier kein Fixpunkt vorliegen?!
Bis jetzt hatte ich noch keine Zeit mich weiter mit (2) und (3) auseinanderzusetzen, aber ich hätte ein paar Fragen zu deinen Hinweisen.
Zu (2):
Im Intervall [a,b] wird die Funktion doch auch nicht dazu gezwungen, in a bzw. b die Werte a bzw. b anzunehmen (sonst wären die Fixpunkte ja immer in a und b?!). Wieso hilft mir das jetzt hier zu beweißen, dass die Aussage falsch wird?
Zu (3):
In deinem Tipp erläuterst du mir ja, was gilt, wenn die Aussage unwahr wäre. Meinst du also, ich soll mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten? Denn es gilt ja zu zeigen, dass die Aussage wahr ist.
Ich hoffe, ich überhäufe dich nicht mit zu viel Fragen, aber die Aufgabe ist momentan echt blos ein großes Fragezeichen für mich.
Für jede weitere Hilfe wäre ich dir sehr dankbar.
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> Hallo Angela,
>
> schonmal vielen Dank für deine Hilfe. Aber ich habe da noch
> ein paar Fragen.
>
> Zu (1):
>
> Bis zu deinem Punkt 2.b) ist mir alles klar. Das der
> Fixpunkt gleich a oder b sein könnte, ist ja verrständlich
> und daran habe ich auch gedacht, ich habs blos nicht
> hingeschrieben. Aber bei 2. b) steig ich dann aus.
> Ich verstehe nicht ganz, wie mir hier der Zwischenwertsatz
> helfen soll?
Hallo,
ich hoffe, daß nicht ich selbst zum Unverständnis beigetragen habe durch einen Fehler, welchen ich gleich korrigieren werde.
Du sollst natürlich g(x) im Intervall [a,b] betrachten und nicht etwa im Intervall [f(a), b].
Schau Dir jetzt mal g(a) und g(b) an und notiere, ob die Funktionswerte größer oder kleiner 0 (Dein [mm] y_0 [/mm] von weiter unten!) sind.
Dann den ZWS auf g anwenden.
> Der Zwischenwertsatz, den wir in der Vorlesung gelernt
> haben, sagt folgendes aus: Es sei a < b und f eine in [a,b]
> stetige Funktion. Weter sei [mm]y_{0}[/mm] zwischen f(a) und f(b).
> Dann existiert ein [mm]x_{0} \in[/mm] [a,b] mit [mm]f(x_{0})=y_{0}[/mm]
Ja. Und der ZWS gilt natürlich ggf. auch für [mm] y_0=0
[/mm]
>
> Also grob gesagt, dass alle y-Werte zwischen a und b
> angenommen werden.
Fast! Alle Werte zwischen f(a) und f(b).
> Aber wie hilft mir das? Wüsste ich, dass
> f(a) < 0 und b > 0ist,
Eben. Du mußt oben mit der Funktion g und dem ZWS arbeiten.
Aus dem Ergebnis erhältst Du dann Informationen über f.
> Bis jetzt hatte ich noch keine Zeit mich weiter mit (2) und
> (3) auseinanderzusetzen, aber ich hätte ein paar Fragen zu
> deinen Hinweisen.
> Zu (2):
>
> Im Intervall [a,b] wird die Funktion doch auch nicht dazu
> gezwungen, in a bzw. b die Werte a bzw. b anzunehmen (sonst
> wären die Fixpunkte ja immer in a und b?!).
Du hast das nicht richtig gelesen.
Ich sprach darüber, eine stetige Funktion f anzuschauen, welche komplett oberhalb der Winkelhalbierenden bzw. h(x):=x verläuft.
> Wieso hilft mir
> das jetzt hier zu beweißen, dass die Aussage falsch wird?
Das sollte nicht beim Beweisen helfen, sondern Du plausibel machen, daß die Aussage für ein offenes Intervall nicht gilt.
Für [mm] x\to [/mm] a geht [mm] f(x)\to [/mm] a.
Die Funktionswerte rücken also beliebig dicht an a, aber da der Anfangspunkt des Intrvalls ausgenommen ist, muß die Funktion den Wert a nicht annehmen.
Beweisen kannst Du die Aussage, indem Du solch eine Funktion konstruiert, welche keinen Fixpunkt hat.
Da mußt Du mal ein bißchen rumfrickeln.
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> Zu (3):
> In deinem Tipp erläuterst du mir ja, was gilt, wenn die
> Aussage unwahr wäre. Meinst du also, ich soll mit einem
> Widerspruchsbeweis arbeiten? Denn es gilt ja zu zeigen,
> dass die Aussage wahr ist.
Wie man das genau beweist, war mir im Moment überhaupt nicht wichtig.
Es ging mir ums Begreifen, Anfassen, Angucken.
Bevor man so etwas beweist, muß man verstanden haben, wieso etwas so ist oder nicht.
Sonst weiß man ja nicht, welches Werkzeug zu benutzen ist, Bohrhammer oder Schwingschleifer?
Wenn Dir der Widerspruch klar ist, könntest Du mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten.
Wenn Dir ein direkter Weg einfällt, kannst Du genausogut den nehmen.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 05.01.2008 | | Autor: | MrFair |
Hallo Angela,
nochmals vielen Dank, für deine Hilfe, ich denke, zumindest (1) habe ich jetzt verstanden. (2) und (3) muss ich mir nochmals genauer anschauen und mich dann gegebenenfalls nochmals melden.
Nochmal zu (1):
Ich denke, der "Knackpunkt" ist ja, dass wir in 2.b) folgendes vorraussetzen: f(a) > a & f(b) < b
Denn daraus folgt ja: g(a) = a - f(a) < 0 und g(b) = b - f(b) > 0!
Somit folgt also aus dem Zwischenwertsatz, dass die Funktion g eine Nullstelle besitzt (da ja alle y-Werte zwischen g(a) und g(b) "erreicht" werden, somit auch die 0).
An sich könnte ich jetzt ja auch den Nullstellensatz von Bolzano anwenden. Das kommt ja mehr oder weniger auf das selbe heraus. (g(a) * g(b) < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Nullstelle [mm] \Rightarrow [/mm] Fixpunkt!)
Aber eins ist mir noch unklar: Wieso reicht es, nur diese Fälle zu betrachten? Müsste ich nicht auch noch die Fälle:
1. f(b) > b & f(a) > a
2. f(b) < b & f(a) < a
3. f(b) > b & f(a) < a
betrachten?
Für 3. wäre die Lösung ja einfach, dass würde so wie oben ablaufen.
Aber was ist mit 1 & 2? Hier wäre ja sowohl g(a) < 0 und auch g(b) < 0 (bzw. g(a) > 0 und g(b) > 0). Was mache ich hier? Den Zwischenwertsatz kann ich ja nun nicht mehr anwenden.
Zumindest habe ich jetzt keine Möglichkeit mehr, eine Nullstelle von g zu finden (mit den mir bekannten Mitteln). Eine andere Möglichkeit, dies zu beweisen, ohne es auf ein Nullstellenproblem zurückzuführen, fällt mir aber auch nicht ein.
Entschuldige bitte, wenn das langsam vielleicht ein paar Fragen zuviel werden. Ich bin dir schon sehr dankbar über deine Hilfe bis jetzt.
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> Nochmal zu (1):
> Ich denke, der "Knackpunkt" ist ja, dass wir in 2.b)
> folgendes vorraussetzen: f(a) > a & f(b) < b
> Denn daraus folgt ja: g(a) = a - f(a) < 0 und g(b) = b -
> f(b) > 0!
> Somit folgt also aus dem Zwischenwertsatz, dass die
> Funktion g eine Nullstelle besitzt (da ja alle y-Werte
> zwischen g(a) und g(b) "erreicht" werden, somit auch die
> 0).
> An sich könnte ich jetzt ja auch den Nullstellensatz von
> Bolzano anwenden. Das kommt ja mehr oder weniger auf das
> selbe heraus. (g(a) * g(b) < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Nullstelle
> [mm]\Rightarrow[/mm] Fixpunkt!)
Ja.
>
> Aber eins ist mir noch unklar: Wieso reicht es, nur diese
> Fälle zu betrachten? Müsste ich nicht auch noch die Fälle:
> 1. f(b) > b & f(a) > a
> 2. f(b) < b & f(a) < a
> 3. f(b) > b & f(a) < a
> betrachten?
Hast Du Dir mal den Wertebereich Deiner Funktion angeschaut?
Das solltest Du unbedingt tun, dann müßtest Du die Antwort selber finden...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 05.01.2008 | | Autor: | MrFair |
Oh Gott. Das ist mir jetzt aber sehr, sehr peinlich.
Es wird ja von [a,b] nach [a,b] abgebildet. daher kann f(a) gar nicht kleiner als a und f(b) auch nicht größer als b sein.
Das sind halt so Leichtsinnsfehler... die sollten nicht passieren, aber wenn sie einem passieren, kommt man von alleine fast nie auf die Lösung. Also nochmals: Dankeschön! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 14.12.2008 | | Autor: | pedaa |
> Nochmal zu (1):
> Ich denke, der "Knackpunkt" ist ja, dass wir in 2.b)
> folgendes vorraussetzen: f(a) > a & f(b) < b
Hey ich arbeite derzeit an dem selben Problem aber bin glaube ich noch nicht so ganz drin im Themenkomplex. Wieso setzen wir obiges Voraus? Die Schlussfolgerungen verstehe ich, aber warum ist nun f(a) > a und f(b) < b... Letztendlich brauche ich diesen Zusammenhang ja um zu folgern, dass g(x) im Intervall [a,b] eine Nullstelle hat <=> f hat Fixpunkt.
Wäre um eine Antwort dankbar.
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> > Nochmal zu (1):
> > Ich denke, der "Knackpunkt" ist ja, dass wir in 2.b)
> > folgendes vorraussetzen: f(a) > a & f(b) < b
Hallo,
willkommenmr].
Die Funktion bildet aus dem Intervall [a,b] in das Intervall [a,b] ab, dh. für alle x aus dem Definitionsbereich gilt [mm] a\le f(x)\le [/mm] b.
Also gilt das auch für den Intervallanfang und das -ende.
Gruß v. Angela
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