Existenz von Vektor im Vektor. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:28 So 15.06.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] F_{3}^{5} [/mm] über dem Körper [mm] F_{3} [/mm] sind zwei Untervektorräume wie folgt angegeben :
[mm] U_{1} [/mm]
= span { [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2} [/mm] }
[mm] U_{2}
[/mm]
= span { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1} [/mm] }
a) Untersuchen Sie , ob der Vektor [mm] [2,2,1,0,0]^{T} [/mm] in [mm] U_{1} [/mm] bzw [mm] U_{2} [/mm]
liegt
b) Berechnen Sie eine Basis von [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
c) Bestimmen Sie eine Basis von [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] und eine Basis eines
Vektorraums W mit [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] = [mm] (U_{1} \cap U_{2}) \oplus [/mm] W |
Hallo ,
ich bin a folgendermaßen angegangen
Prüfung ob Vektor v in [mm] U_{1} [/mm] liegt :
v = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] LGS (Matrixform) :
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 0 & | & 2 \\ 2 & 0 & 2 & | & 2 \\ 2 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 \\ 2 & 0 & 2 & | & 0 }
[/mm]
das hab ich dann umgeformt bis :
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & 2 & | & -2 \\ 0 & 0 & 0 & | & -2 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & -6 }
[/mm]
hier wäre -2 = -6 da aber -2 [mm] \not\equiv [/mm] -6 mod 3
ist das LGS nicht lösbar somit v [mm] \not\in U_{1} [/mm] richtig ?
Prüfe ob v in [mm] U_{2}
[/mm]
hier hab ich umgeformt bis :
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 }
[/mm]
hier wäre [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] = 2
da aber [mm] \bruch{1}{2} \not\equiv [/mm] 2 mod 3
ist in [mm] F_{3} [/mm] 2 [mm] \not= \bruch{1}{2}
[/mm]
somit liegt v auch nicht in [mm] U_{2} [/mm]
habe Zweifel
Ich denke ich habe vielleicht noch Probleme mit Resrklassenrechnung?
habt Dank für Rat
lg
Thomas
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Das Problem ist, dass Divison alles andere als intuitiv funktioniert bei Restklassenberechnung. Tatsächlich gilt nämlich [mm] \bruch{1}{2}=2 [/mm] mod 3. Und das Ganze kommt so zustande: Du schreibst dir eine Multiplikationstabelle auf für den [mm] F_{3}, [/mm] die sieht so aus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 }
[/mm]
Diese Tabelle liest du so: Die 1 in der zweiten Zeile, zweiten Spalte bedeutet, dass 1*1 = 1 mod 3. Die 1 in der dritten Zeile, dritten Spalte bedeutet, dass 2*2 = 1 mod 3. Das ist genauso wie die Multiplikationstabellen, die wir in der Grundschule fürs kleine 1x1 hatten 
So, jetzt hast du die Gleichung [mm] \bruch{1}{2}=x \gdw [/mm] 1 = 2*x aufzulösen. Also suchst du dir in der Multiplikationstabelle in der Spalte der 2 (das ist die am weitesten rechts) den Eintrag 1 und die Zeile, in der der Eintrag 1 steht, ist dein x. (Erklärung ist ein bisschen konfus, ich hoffe, es kommt trotzdem das Richtige rüber.)
Und das bedeutet also, dein Vektor liegt tatsächlich in [mm] U_{2}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 So 15.06.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo und danke ,
ich versuche noch zu verstehen
kleine Zwischenfrage :
du schreibst [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 2 mod 3
es heißt doch [mm] \bruch{1}{2} \equiv [/mm] 2 mod 3
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] kongrent 2 mod 3
und das meinst Du auch oder ?
also haben [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und 2 bei Division durch 3 tatsächlich den gleichen Rest ? bzw ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] -2) ist durch 3 teilbar ?
ist denn meine Lösung das v nicht in [mm] U_{1} [/mm] liegt komplett richtig ??
lg
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 So 15.06.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
auch wenn antipro nicht mehr online ist ,
ich bin für jede Antwort dankbar
lg
Thomas
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Deine Lösung, dass der Vektor nicht in [mm] U_{1} [/mm] liegt, ist komplett richtig. Ob man bei Modulorechnung "=" oder [mm] "\equiv" [/mm] schreibt, ist soweit ich weiss, abhängig davon, wo man gelernt hat. Also wir haben am Gymnasium die Schreibweisen
5 = 2 (3)
5 [mm] \equiv [/mm] 2 mod 3
und an der Uni die Schreibweise
5 [mm] \equiv_{3} [/mm] 2
kennengelernt und alle bezeichnen den selben Fakt. Also hier gilt meiner Meinung nach "Hauptsache, man wird verstanden." :-D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 So 15.06.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
So, jetzt hast du die Gleichung 1 = 2*x aufzulösen. Also suchst du dir in der Multiplikationstabelle in der Spalte der 2 (das ist die am weitesten rechts) den Eintrag 1 und die Zeile, in der der Eintrag 1 steht, ist dein x.
ich suche mir also in der Tabelle in der Spalte 2
( wegen 1 = 2 * x ?? )
den Eintrag 1 ( wegen 1 = 2 * x ?? )
und die Zeile in der der Eintrag 1 steht
also die Zeile 0 1 2 ist mein x ??
also x = 0 , x = 1 , x = 2 ?
und somit
[mm] \bruch{1}{2} \equiv [/mm] 0 mod 3
[mm] \bruch{1}{2} \equiv [/mm] 1 mod 3
[mm] \bruch{1}{2} \equiv [/mm] 2 mod 3
richtig ??
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Hmm... nein...
Das war ungünstig ausgedrückt von mir. Nicht die Zeile ist dein x; x ist ja eine ganze Zahl und kein Vektor.
Du suchst dir also in der 2. Spalte (Wegen 1 = 2*x) den Eintrag 1 (Wegen 1 = 2*x). Den Eintrag 1 findest du in der zweiten Zeile (wenn man bei 0 anfängt zu zählen) Also ist dein x = 2.
Ich probiers mal mit einem etwas größeren Beispiel, am [mm] F_{3} [/mm] sieht man sehr wenig leider.
Wir betrachten den [mm] F_{5}, [/mm] der hat folgende Miultiplikationstabelle:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & 2 & 1} [/mm] und wüssten gern, was [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ist. Dann suchen wir uns in der dritten Spalte den Eintrag 2 (Denk immer daran, dass du bei 0 anfangen musst zu zählen: Die dritte Spalte ist die mit den Einträgen [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ 4 \\ 2}), [/mm] den finden wir in der vierten Zeile (also die letzte Zeile der Tabell), also gilt [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 4 mod 5.
Das klappt übrigens nur, wenn du in der Restklasse einer Primzahl rechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 15.06.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
zu Aufgabe c :
bilde ich U1 + U2 indem ich die einzelnen Vektoren addiere ?
lg
Thomas
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> Hallo ,
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> zu Aufgabe c :
>
> bilde ich U1 + U2 indem ich die einzelnen Vektoren addiere
> ?
Hallo,
diese Frage sollte eigentlich ein kurzer Blick in Deine Unterlagen beantworten:
[mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 :=\{u_1+u_2| u_1\in U_1 und u_2\in U_2\},
[/mm]
die Menge enthält also alle Vektoren, die man als Summe eines aus [mm] U_1 [/mm] und eines aus [mm] U_2 [/mm] erhalten kann.
Gruß v. Angela
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