Existiert eine DGL zu f(x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben sie eine homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizientenan , welche die Funktion
f1(x) = pi + cos (x) und f2(x) = e^(3x)*cos(x)*sin(x)
als Lösung besitzt. |
Ok, eine Abwandlung dieses Aufgabentyps habe ich schonmal gelöst, indem ich die Lösungen des charakteristischen Polynoms aus der Lösung gezogen habe und dann die DGL entsprechend aufgestellt habe.
Hier ergeben sich für mich aber neue Probleme.
1. Was bedeutet es, das die DGL beide Gleichungen als Lösung hat. Ausmultiplikation aller Lösungen für die Polynome der beiden Gleichungen ?
2. aus f1(x) kann ich die Lösungen des Polynoms [mm] \alpha [/mm] = 0 und alpha gleich i und -i ( da sin(x) und cos(x) ja paarweise bei einer negativen Wurzel als Lösung für die charakteristische GLeichung auftreten?
3. Aus f2(x) werde ich nicht wirklich schlau imom, weil ich nicht sehe wie ich daraus Lösungen für das charakteristische Polynom ablesen kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Traumfabrik,
> Geben sie eine homogene lineare DGL mit konstanten
> Koeffizientenan , welche die Funktion
> f1(x) = pi + cos (x) und f2(x) = e^(3x)*cos(x)*sin(x)
> als Lösung besitzt.
> Ok, eine Abwandlung dieses Aufgabentyps habe ich schonmal
> gelöst, indem ich die Lösungen des charakteristischen
> Polynoms aus der Lösung gezogen habe und dann die DGL
> entsprechend aufgestellt habe.
Hier ist es ähnlich, allerdings hat das charakteristische Polynom die komplexen Nullstellen $i, -i, 3 + i, 3 - i$. Die reellen Lösungen sind dann Real- und Imaginärteil der komplexen DGL. Dann ist schon mal [mm] $f_1$ [/mm] eine Lösung. Ich bin mir aber nicht sicher, ob auch [mm] $f_2$ [/mm] eine ist. Versuch's mal ...
Grüße,
Wolfgang
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Erstmal danke zu deiner Antwort !
Würde aber gerne wissen wie du die 3-i und 3+i bekommen hast, und ob du in deiner Antwort die Lösung [mm] \alpha [/mm] = 0 unterschlagen hast, oder ob diese falsch ist ?
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Hallo Traumfabrik,
> Erstmal danke zu deiner Antwort !
>
> Würde aber gerne wissen wie du die 3-i und 3+i bekommen
Nun, die zweite Funktion läßt sich
gemäß Additionstheorem so schreiben:
[mm]f_{2}\left(x\right)=e^{3x}*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)=\bruch{1}{2}e^{3x}*\sin\left(2x\right)[/mm]
Und gemäß der Eulerschen Identität ist
[mm]\sin\left(2x\right)=\bruch{e^{i*2x}-e^{-i*2x}}{2i}[/mm]
Damit ist
[mm]f_{2}\left(x\right)=\bruch{1}{2}e^{3x}*\sin\left(2x\right)=\bruch{1}{2}e^{3x}*\left(\bruch{e^{i*2x}-e^{-i*2x}}{2i}\right)=\bruch{1}{4i}*e^{3x}*e^{i*2x}-\bruch{1}{4i}*e^{3x}*e^{-i*2x}[/mm]
[mm]\bruch{1}{4i}*e^{3x}*e^{i*2x}-\bruch{1}{4i}*e^{3x}*e^{-i*2x}=\bruch{1}{4i}*e^{3x+i*2x}-\bruch{1}{4i}*e^{3x-i*2x}[/mm]
Die Nullstellen des charkteristischen Polynoms sind daher [mm]3+i2, \ 3-i2[/mm]
> hast, und ob du in deiner Antwort die Lösung [mm]\alpha[/mm] = 0
> unterschlagen hast, oder ob diese falsch ist ?
In der Tat ist die konstante Lösung verlorengegangen.
Gruss
MathePower
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Erstmal vielen Dank ! Hast den Namen wohl mit bedacht gewählt :)
Mit Verlaub, müsste ich einfach imstande sein so etwas zu wissen oder zu sehen?
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Hallo Traumfabrik,
> Erstmal vielen Dank ! Hast den Namen wohl mit bedacht
> gewählt :)
>
> Mit Verlaub, müsste ich einfach imstande sein so etwas zu
> wissen oder zu sehen?
>
In Anbetracht dessen, daß Du in dem ersten Post in diesem Thread
das "charakteristische Polynom" erwähnt hast, müßtest Du das wissen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Traumfabrik,
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> Würde aber gerne wissen wie du die 3-i und 3+i bekommen
> hast, und ob du in deiner Antwort die Lösung [mm]\alpha[/mm] = 0
> unterschlagen hast, oder ob diese falsch ist ?
[mm] $\alpha [/mm] = 0$ hatte ich übersehen! Und $3-i, 3+i$ ist eh' falsch. FRED und Mathepower haben das ja schon korrigiert.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 23.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Bestimme eine homogene lineare Dgl 5. Ordnung, deren char. Polynon so lautet:
[mm] p(t)=t(t^2+1)(t^2-6t+13).
[/mm]
Die Nullstellen von p sind:
0,i,-i, 3+2i,3-2i.
Damit lautet die allgemeine Lösung der Dgl.:
[mm] y(t)=c_1+c_2cos(x)+c_3sin(x)+c_4e^{3x}sin(2x)+c_5e^{3x}cos(2x)
[/mm]
FRED
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Hi,
wie komme ich auf die letzten beiden Lösungen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 23.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> wie komme ich auf die letzten beiden Lösungen ?
[mm] $e^{(3+2i)x}=e^{3x}e^{2ix}=e^{3x}(\cos(2x)+i*\sin(2x))$
[/mm]
FRED
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Sorry, versteh ich nicht, da weder auf der linken noch auf der rechten Seite das steht was ich gegeben habe ? :(
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Hallo Traumfabrik,
> Sorry, versteh ich nicht, da weder auf der linken noch auf
> der rechten Seite das steht was ich gegeben habe ? :(
Siehe dazu diesen Artikel.
Gruss
MathePower
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