Explizite Darstellung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
auf unserem Übungsblatt ist folgende Aufgabe zu finden:
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der rekursiv definierten Folge [mm] a_n. [/mm] Finden und beweisen Sie dann eine explizite Darstellung für [mm] a_n:
[/mm]
[mm] a_{1}=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+a_{n}}
[/mm]
Okay - Folgen hatten wir in der Vorlesung noch nicht - auch in der Übung war davon keine Rede. Folgen kenne ich noch aus der Schule - klar. Daher war es auch kein Problem die ersten fünf Glieder zu berechnen:
für: n = 1 ergibt sich 1/2
für: n = 2 ergibt sich 1/3
für: n = 3 ergibt sich 1/4
für: n = 4 ergibt sich 1/5
für: n = 5 ergibt sich 1/6
Nun muss ich noch eine explizite Darstellung der Folge finden. Was ist eine explizite Darstellung einer Folge überhaupt? Ich konnte in meinen Büchern dazu nichts finden.
Beweisen werde ich diese Darstellung wohl durch vollst. Induktion.
Help :)
|
|
| |
|
Hallo abi2007LK!
Im Gegensatz zur gegebenen rekursiven Darstellung, kommt bei der expliziten Darstellung kein vorheriges Folgenglied (wie z.B. [mm] $a_n$ [/mm] ) vor. Das heißt: es kommt als einzige Unbekannte nur noch die Zählervariable $n_$ vor.
Beispiel: Die Folge [mm] $a_n [/mm] \ : \ 1;2;3;4; ...$ kann durch die explizite Darstellung [mm] $a_n [/mm] \ := \ n$ beschrieben werden.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Ah - kann es sein, dass die explizite Darstellung einfach nur:
[mm] \frac{1}{n}
[/mm]
ist?
Wie beweise ich das Ganze nun?
[mm] \frac{a_{n}}{1+a_{n}}\; =\; \frac{1}{n}
[/mm]
So? Und dann mit vollst. Induktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Do 01.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Obige Mitteilung sollte eine Frage sein. Meine Mitteilung und die schon gegebene Antwort wurden fast gleichzeitig abgesendet. Ungeschickt von mir.
|
|
|
| |
|
Ist der Beweis richtig:
für n = 1 ist das ganze trivial.
Nun für n = n + 1
[mm] \frac{a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=\; \frac{\frac{a_{n}}{1+a_{n}}}{1+\frac{a_{n}}{1+a_{n}}}
[/mm]
Dann kann ich [mm] ja:\frac{1}{n}
[/mm]
mit
[mm] \frac{a_{n}}{1+a_{n}}
[/mm]
ersetzen:
[mm] \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\; =\; \frac{1}{n+1}
[/mm]
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Do 01.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Dann stimmt meine Lösung ja.
Danke dir. Ist ja garnich so schwer...
|
|
|
| |
|
Hallo abi2007LK!
> Ah - kann es sein, dass die explizite Darstellung einfach nur: [mm]\frac{1}{n}[/mm] ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie beweise ich das Ganze nun?
Mittels vollständiger Induktion!
Im Induktionsschritt musst Du nun zeigen, dass [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n+1}$ [/mm] gilt.
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \frac{a_{n}}{1+a_{n}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
. . . . 