Exponent.Darst. des Cosh < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | P bezeichne einen Punkt auf der Hyperbel der Form $x^2-y^2 = 1$ . Die x-Koordinate des Punktes ist gegeben durch $cosh(A)$ und die y-Koordinate durch $sinh(A)$. Wobei $A/2$ die Fläche zwischen der Koordinatenachse, der Hyperbel und der zwischen dem Ursprung und dem Punkt verlaufenden Gerade ist.
Zeigen Sie: $$cosh(A) = \bruch{e^x+e^{-x}}{2} $$ |
Hi Leute,
also das hier ist eine Übungsaufgabe aber nicht aus meinem Semester- und ich weiß nicht, welche Informationen die über die Hyperbelfunktionen benutzen durften (z.B. $(sinh(A))' = cosh(A) $ ). Daher will ich erstmal so tun als wären diese Funktionen leere Blätter für mich. Ich hab bereits rumgerechnet und integriert usw. Ich habe zwei Ideen:
Von vornherein die Exponentialdarstellung benutzen (dann darf ich die ganzen Sachen benutzen, wie $sinh(A)' = cosh(A) $ - das ergibt sich ja fast von selbst - und das ganze auf eine korrekte Aussage zurückzuführen. Würde das reichen ? Bloß was soll die wahre Aussage sein ? Ich nehme an, die Flächenberechnung von A. Dann wäre:
$$ cosh^{-1}(cosh(A)) = A = sinh(A)cosh(A) - 2\cdot \int^{cosh(A)}_1 {\sqrt{x^2 -1 } dx $$
Hier kann man ja ganz nett x mit $cosh(A)$ substituieren - hier würde ich die Exponentialdarstellung einsetzen.
Am Schluss müsste ich dann noch die Umkehrfunktion finden (dazu müsste ich ja davor auch bijektivität von cosh(A) zeigen...) - aber irgendwie kommt mir dieser Schluss an den Haaren herbeigezogen vor... Sieht jemand einen eleganteren Ansatz ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> P bezeichne einen Punkt auf der Hyperbel der Form [mm]x^2-y^2 = 1[/mm]
> . Die x-Koordinate des Punktes ist gegeben durch [mm]cosh(A)[/mm]
> und die y-Koordinate durch [mm]sinh(A)[/mm]. Wobei [mm]A/2[/mm] die Fläche
> zwischen der Koordinatenachse, der Hyperbel und der
> zwischen dem Ursprung und dem Punkt verlaufenden Gerade
> ist.
> Zeigen Sie: [mm]cosh(A) = \bruch{e^x+e^{-x}}{2}[/mm]
> Hi Leute,
> also das hier ist eine Übungsaufgabe aber nicht aus meinem
> Semester- und ich weiß nicht, welche Informationen die über
> die Hyperbelfunktionen benutzen durften (z.B. [mm](sinh(A))' = cosh(A)[/mm]
> ). Daher will ich erstmal so tun als wären diese Funktionen
> leere Blätter für mich. Ich hab bereits rumgerechnet und
> integriert usw. Ich habe zwei Ideen:
> Von vornherein die Exponentialdarstellung benutzen (dann
> darf ich die ganzen Sachen benutzen, wie [mm]sinh(A)' = cosh(A)[/mm]
> - das ergibt sich ja fast von selbst - und das ganze auf
> eine korrekte Aussage zurückzuführen. Würde das reichen ?
> Bloß was soll die wahre Aussage sein ? Ich nehme an, die
> Flächenberechnung von A. Dann wäre:
> [mm]cosh^{-1}(cosh(A)) = A = sinh(A)cosh(A) - 2\cdot \int^{cosh(A)}_1 {\sqrt{x^2 -1 } dx[/mm]
Ich denke, du solltest das Integral direkt ausrechnen und außerdem die Identität
[mm] \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 [/mm]
benutzen, die aus der Aufgabe folgt.
Zur Bestimmung des Integrals: Führe zunächst eine partielle Integration durch mit $u'=1$, [mm] $v=\sqrt{x^2-1}$ [/mm] und forme das entstehende Integral so um, dass
[mm] \int \bruch{1}{\sqrt{x^2 -1 }} dx [/mm]
entsteht. Das kannst du mit der Substitution [mm] $z=x+\sqrt{x^2-1}$ [/mm] lösen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 30.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo rainer und vielen Dank für die antwort.
ich habe einen alternativen weg benutzt. Ich denke aber, dass er ebenfalls möglich ist.
Ich hab das Integral gelöst indem ich für x cosh(A) substituiert habe - und zwar in der zu beweisenden exponentialdarstellung.
damit kann ich dann auch die ableitung berechnen.
Die Obere grenze wird zu A da $ cosh^{-1}(cosh(A)) = A $ und die untere wird zu 0, weil es bei $cosh^{-1}(1) $ keine Fläche gibt (Nullstelle der Hyperbel gemäß Formel). Dass cosh hier bijektiv sein muss, brauche ich glaube ich nicht auszuführen - ist ja streng monoton ( in dem betrachteten Intervall !!).
Ich habe dann einfach ein wenig umgeformt und kam schnell zu:
$$ \int_0^A {\left(\bruch{e^A-e^{-A}}{2} \right)^2 \,\mathrm{dA}= \left[\bruch{e^{2A}}{8}-\bruch{A}{2}-\bruch{e^{-2A}}{8}\right]_0^A $$ Wenn ich das in die Gleichung für A einsetze. Steht am Schluss [mm] A=A [/mm] . Ich meine damit wäre die Aussage verifiziert.
Aber trotzdem danke, ich werde deinen Weg nocheinmal nachrechnen. Vielleicht ist er ja schöner ?
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