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Exponentialfkt: Gleichung auflösen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Mi 25.10.2006
Autor: milika52

Kann mir bitte jemand bei folgenden Gleichungen helfen? Ich schreib mal hin wie weit ich selbst komme. Wenns geht, wäre ein ausführlicher Rechenweg super, damit ich das ganze nachvollziehen kann:

1.)    [mm] 3^{x+1}-2=\bruch{1}{3}^{2-x}+3 [/mm]
        [mm] 3^{x}\*3^{1}-2=\bruch{1}{3}^2\*\bruch{1}{3x}+3 [/mm]
        [mm] 3^{x}\*3=\bruch{1}{9}\*\bruch{1}{3x}+5 [/mm]
        ...
        weiß nicht ob es so weit stimmt
        

2.)    [mm] 1,8^{x}=1,8^{x-3}+1 [/mm]
         [mm] 1,8^{x}=1,8^{x}\*1,8^{-3}+1 [/mm]
         ...

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Exponentialfkt: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 11:09 Mi 25.10.2006
Autor: Stefan-auchLotti

[mm] \text{Hallöchen,} [/mm]

> Kann mir bitte jemand bei folgenden Gleichungen helfen? Ich schreib mal
> hin wie weit ich selbst komme. Wenns geht, wäre ein ausführlicher
> Rechenweg super,
> damit ich das ganze nachvollziehen kann:

>

> 1.)    $ [mm] 3^{x+1}-2=\bruch{1}{3}^{2-x}+3 [/mm] $
>        $ [mm] 3^{x}*3^{1}-2=\bruch{1}{3}^2*\bruch{1}{3x}+3 [/mm] $

[mm] \text{Ich glaube nicht, dass man das so machen kann. Logarithmiere doch erst} [/mm]
[mm] \text{einmal alles (keine Angst, ist Äquivalenzumformung).} [/mm]

[mm] \text{Ich fasse das jetzt mal so auf, dass das hoch 2-x für den gesamten Bruch gilt, sonst bitte melden.} [/mm]

[mm] $3^{x+1}-2=\left(\bruch{1}{3}\right)^{2-x}+3 \gdw (x+1)*\lg 3-\lg 2=(2-x)*\lg \bruch{1}{3}+\lg [/mm] 3$
$ [mm] \gdw x*\lg 3+\lg 3-\lg2=2*\lg \bruch{1}{3}-x*\lg \bruch{1}{3}+\lg [/mm] 3 [mm] \gdw x*\lg 3+x*\lg \bruch{1}{3}=2*\lg \bruch{1}{3}+\lg [/mm] 2$
[mm] $\gdw x\left(\lg 3+\lg \bruch{1}{3}\right)=2*\lg \bruch{1}{3}+\lg [/mm] 2 [mm] \gdw x=\bruch{2*\lg \bruch{1}{3}+\lg 2}{\lg 3+\lg \bruch{1}{3}}$ [/mm]

[mm] $\IL=\{x \in \IR | x=\bruch{2*\lg \bruch{1}{3}+\lg 2}{\lg 3+\lg \bruch{1}{3}}\}$ [/mm]

[mm] \text{Das kannst du jetzt auch wunderbar in den Taschenrechner eingeben, oder, wenn du angeben willst, belasse es} [/mm]
[mm] \text{bei dem exakten Ergebnis. Ich bitte andere Leute, falls sie einen Fehler bei mir finden, mir das hier mitzuteilen, da} [/mm]
[mm] \text{ich mit WinFunktion ein anderes Ergebnis bekomme, was ich, ehrlich gesagt, nicht nachvollziehen kann.} [/mm]

>         $ [mm] 3^{x}*3=\bruch{1}{9}*\bruch{1}{3x}+5 [/mm] $
>         ...
>         weiß nicht ob es so weit stimmt
>        

>

> 2.)    $ [mm] 1,8^{x}=1,8^{x-3}+1 [/mm] $
>         $ [mm] 1,8^{x}=1,8^{x}*1,8^{-3}+1 [/mm] $
>          ...

[mm] \text{Dasselbe wie oben, diese Regel, die du anwendest, gibt es, glaube ich, nicht.} [/mm]

$ [mm] 1,8^{x}=1,8^{x-3}+1 \gdw x*\lg 1,8=(x-3)*\lg 1,8+\lg [/mm] 1 [mm] \gdw x*\lg 1,8=x*\lg 1,8-3*\lg 1,8+\lg1 \gdw 0=-3*\lg 1,8+\lg [/mm] 1$

[mm] \text{Hiernach gibt es keine Lösung, was WinFunktion wieder nicht bestätigen kann.} [/mm]

[mm] $\IL=\{\quad\}$ [/mm]

>

> Vielen Dank im Voraus

[mm] \text{Grüße, Stefan.} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Exponentialfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Mi 25.10.2006
Autor: milika52

Vilen Dank für Deine Mühe,
Ich kann Deinen Lösungsweg auch nachvollziehen, leider weiss ich definitiv, dass es eine Lösung geben muss (laut Lehrkraft).
Ich bin mir auch sicher, dass die Zerlegung in einzelne Faktoren auch geht.

Der nächste Schritt von Aufgabe 2, den ich nicht verstehe ist:

[mm] \bruch{1,8^{x}}{1,8^{3}}\*1,8^{x}= [/mm]  -1 ???

Warum -1 ???
Das verstehe ich nicht.

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Mi 25.10.2006
Autor: hase-hh

moin,

bei aufgabe 1 würde ich so vorgehen:

ich gehe mal davon aus, dass du folgende aufgabe meinst:


[mm] 3^{x+1} [/mm] -2 = [mm] (\bruch{1}{3})^{2-x} [/mm] + 3

[mm] 3^x*{3} [/mm] -2 = [mm] (\bruch{1^{2-x}}{3^{2-x}}) [/mm] + 3

[mm] 3^x*{3} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{3^2*3^{-x}}) [/mm] + 5

[mm] 3^{x}*3 [/mm] = [mm] 3^{-2}*3^{x} [/mm] + 5

[mm] 3^{x}*3 [/mm] - [mm] 3^{-2}*3^{x} [/mm] = 5

[mm] 3^{x}*(3-3^{-2}) [/mm]  = 5

[mm] 3^{x} [/mm] = [mm] \bruch{45}{26} [/mm]

und hier könnte man logarithmieren...





Bezug
                
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Exponentialfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Mi 25.10.2006
Autor: leduart

Hallo Stefan
Du hast nen schlimmen fehler gemacht: ln(a+b) [mm] \ne [/mm] lna +lnb
Gruss leduart

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Exponentialfkt: Geläutert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Mi 25.10.2006
Autor: Stefan-auchLotti

[mm] \text{Um Gottes Willen, ist doch schon etwas länger her. ;-) Dankeschön, passiert mir nicht mehr,} [/mm]
[mm] \text{hab' hier schon mehrere Exponentialgleichungen korrekt gelöst.} [/mm]

[mm] \text{Stefan.} [/mm]

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Exponentialfkt: Korrektur
Status: (Korrektur) Korrekturmitteilung Status 
Datum: 15:46 Mi 25.10.2006
Autor: leduart

Korrektur in der Mitteilung
Gruss leduart

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Exponentialfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mi 25.10.2006
Autor: leduart

Hallo milika
Der Vorschlag von Stefan war falsch.

> 1.)    [mm]3^{x+1}-2=\bruch{1}{3}^{2-x}+3[/mm]
>          [mm]3^{x}\*3^{1}-2=\bruch{1}{3}^2\*\bruch{1}{3x}+3[/mm]

Das ist falsch :

[mm] $(\bruch{1}{3})^{2-x}=\bruch{1}{3^{2-x}}=\bruch{1}{3^2}*\bruch{1}{3^{-x}}=\bruch{1}{3^2}*3^x$ [/mm]

Dann hast du :
[mm] $3*3^x-2=\bruch{1}{9}*3^x+3 [/mm] $    daraus
[mm] $3*3^x-\bruch{1}{9}*3^x=5$ [/mm]
[mm] $3^x*(3-\bruch{1}{9})=5$ [/mm]
und jetzt beide Seiten logarithmieren.(erst Klammer ausrechnen)

>          [mm]3^{x}\*3=\bruch{1}{9}\*\bruch{1}{3x}+5[/mm]
> ...
>          weiß nicht ob es so weit stimmt

wie du oben siehst nicht.        

>
> 2.)    [mm]1,8^{x}=1,8^{x-3}+1[/mm]
>           [mm]1,8^{x}=1,8^{x}\*1,8^{-3}+1[/mm]

bis hier richtig, dann

[mm]1,8^{x}=1,8^{x}/1,8^{3}+1[/mm]
[mm]1,8^{x}-1,8^{x}\*1,8^{3}=1[/mm]

(Was in deinem 2. post mit der -1 steht versteh ich nicht)

[mm]1,8^{x}*(1-1/1,8^{3})=1[/mm]

Klammer ausrechnen, danach Logarithmus.
Ich hoff, das hilft auch für alle anderen Aufgaben. immer alle [mm] Dings^x [/mm] auf eine Seite und dann ausklammern!
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Exponentialfkt: NUR Ergebnis zu Nr.1...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Mi 25.10.2006
Autor: Goldener_Sch.

Hallo Leute!!

Also ich erhalte bei der ersten Aufgabe folgendes als Lösung:

[mm]x=\left \bruch{lg(\left \bruch{45}{26} \right)}{lg(3)} \right=\left \bruch{lg(45)-lg(26)}{lg(3)} \right\approx0,49932624767367703671791088609135104614658013980934[/mm]


Hoffe, ich konnte tortz der bloßen Angabe des Ergebnisses helfen;-)!

...ach ja, noch was: []Hier ist ein Rechner der (fast) Lösungen beliebiger Gleichungen, ziemlich genau!
(Bei dieser Gleichung nur eine absolute Abweichung von ca. [mm]10^{-8}[/mm]!)



Mit den besten Grüßen


Goldener Schnitt

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