Exponentialfundtion und Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 30.01.2005 | | Autor: | schnecke |
Hallo,
ich sitze gerade an einer Aufgabe, und ich komme auf keinen grünen Zweig.
Ich soll zeigen, dass exp [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ e & e \\ 0 & e }. [/mm] Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.
Würde mich sehr über eine kleine Starthilfe freuen.
Gruß,
Schnecke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 30.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Schnecke
hier würde ich ganz einfach über die Definition der Exponentioalfunktion gehen:
[mm] $\exp(A)=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{A^k}{k!}}$
[/mm]
Eine Teilaufgabe wird es sein, zu bestimmen, was denn [mm] $A^n$ [/mm] ist.
Nach einigen Beispielen wirst du wohl vermuten:
[mm] $\pmat{1&1\\0&1}^n=\pmat{1&n\\0&1}$
[/mm]
Das müsstest du natürlich noch beweisen.
Nachher hast du nur noch zu zeigen:
I) [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{k!}}=e$
[/mm]
Für die Matrixelemente der Hauptdiagonalen.
II) [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{k}{k!}}=e$
[/mm]
Für den Matrixeintrag rechts oben.
Ich hoffe, damit kommst du weiter.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 30.01.2005 | | Autor: | schnecke |
Hallo Paulus,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich hab das jetzt so weit verstanden und auch gemacht, nur mit dem Beweis dass [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 } [/mm] hab ich Probleme.
Wenn ich [mm] A^{2}, A^{3}, A^{4},... [/mm] ausrechne, sehe ich was eigentlich rauskommen muss.
Ich weiß, dass sich die Einträge auf der Diagonalen nicht verändern, da
D = [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b }^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} } [/mm] für jede Diagonalmatirx ist. Aber wie zeige ich dass sich der Matrixeintrag rechts oben ändert?
Mit lieben Grüßen,
Schnecke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 30.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich hab das jetzt so weit verstanden und auch gemacht, nur
> mit dem Beweis dass [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }^{n}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 }[/mm]
> hab ich Probleme.
> Wenn ich [mm]A^{2}, A^{3}, A^{4},...[/mm] ausrechne, sehe ich was
> eigentlich rauskommen muss.
> Ich weiß, dass sich die Einträge auf der Diagonalen nicht
> verändern, da
> D = [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }^{n}[/mm] = [mm]\pmat{ a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} }[/mm]
> für jede Diagonalmatirx ist.
so kannst du hier leider nicht argumentieren, da es sich nicht um eine diagonalmatrix handelt!
> Aber wie zeige ich dass sich
> der Matrixeintrag rechts oben ändert?
was sich hier aufdrängt ist ein beweis mittels vollständiger induktion! ist nicht wirklich schwer, probiere mal dein glück.
grüße
andreas
|
|
|
|
