Exponentialfunktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 16.12.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | a) Zeigen Sie, dass [mm] exp(-z)=\bruch{1}{exp(z)} [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Berechnen Sie cos(i), wobei i die imaginäre Einheit ist. |
Hi!
Zu Aufgabe a):
es gilt ja, dass exp(0)=1
daraus folgt:
exp(0)=exp(z-z)=exp(z+(-z))=exp(z)*exp(-z)=1
und wenn ich jetzt durch exp(z) dividiere, folgt:
[mm] exp(-z)=\bruch{1}{exp(z)}
[/mm]
Ist das so korrekt gelöst??
----------------------------------------------------------------------------------
zu b):
hier habe ich leider keinen Plan, wie ich die Sache angehen sollte...
Wir haben in der Vorlesung bereits Exponentialfunktionen durchgemacht.
Jedoch haben wir nie die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen gemacht. Im Internet finde ich nur Ansätze, die auf jene Darstellung abzielen.
Außerdem haben wir noch die Formeln von Euler und de Moivre durchgemacht
laut Vorlesungsunterlagen gilt:
[mm] cos(z)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{z^{2n}}{2n)!}
[/mm]
i müsste dann ja gleich die komplexe Zahl z = 0 + 1i sein, oder?
muss ich das jetzt in die Definition des Cosinus einsetzen?? Wenn ja, wie rechne ich das dann?
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeigen Sie, dass [mm]exp(-z)=\bruch{1}{exp(z)}[/mm] für alle
> [mm]z\in\IC[/mm]
> b) Berechnen Sie cos(i), wobei i die imaginäre Einheit
> ist.
> Hi!
>
> Zu Aufgabe a):
>
> es gilt ja, dass exp(0)=1
> daraus folgt:
> exp(0)=exp(z-z)=exp(z+(-z))=exp(z)*exp(-z)=1
>
> und wenn ich jetzt durch exp(z) dividiere, folgt:
> [mm]exp(-z)=\bruch{1}{exp(z)}[/mm]
> Ist das so korrekt gelöst??
Ja.
>
> ----------------------------------------------------------------------------------
>
> zu b):
> hier habe ich leider keinen Plan, wie ich die Sache
> angehen sollte...
> Wir haben in der Vorlesung bereits Exponentialfunktionen
> durchgemacht.
> Jedoch haben wir nie die Exponentialdarstellung der
> komplexen Zahlen gemacht. Im Internet finde ich nur
> Ansätze, die auf jene Darstellung abzielen.
> Außerdem haben wir noch die Formeln von Euler und de
> Moivre durchgemacht
>
> laut Vorlesungsunterlagen gilt:
>
> [mm]cos(z)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{z^{2n}}{2n)!}[/mm]
Diese Darstellung würde ich bei dieser Aufgabe nicht verwenden.
>
> i müsste dann ja gleich die komplexe Zahl z = 0 + 1i sein,
> oder?
So ist es.
Es ist für z [mm] \in \IC:
[/mm]
[mm] cos(z)=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})
[/mm]
Setze nun z=i.
FRED
>
> muss ich das jetzt in die Definition des Cosinus
> einsetzen?? Wenn ja, wie rechne ich das dann?
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 16.12.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Genau diese Darstellung haben wir in der VO nicht durchgemacht :P
Ich weiß jedoch, dass [mm] cos(z)=\bruch{1}{2}*(exp(iz)+exp(-iz)) [/mm] gilt!
also [mm] cos(i)=\bruch{1}{2}*(exp(i)+exp(-i))?
[/mm]
Mit exp(iz)=cos(z)+i*sin(z) müsste dann ja folgen
exp(i)=cos(0)+i*sin(0)=1+i*0=1 ???
ist aber bestimmt falsch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Genau diese Darstellung haben wir in der VO nicht
> durchgemacht :P
> Ich weiß jedoch, dass
> [mm]cos(z)=\bruch{1}{2}*(exp(iz)+exp(-iz))[/mm] gilt!
Ja, was jetzt ? Also habt Ihr in der VO doch diese Darstellung gehabt ?
> also [mm]cos(i)=\bruch{1}{2}*(exp(i)+exp(-i))?[/mm]
Nein ! Wer lesen kann, ist ganz klar im Vorteil !
[mm]cos(i)=\bruch{1}{2}*(exp(i*i)+exp(-i*i))=\bruch{1}{2}*(exp(i^2)+exp(-i^2))[/mm]
Jetzt Du wieder.
FRED
>
> Mit exp(iz)=cos(z)+i*sin(z) müsste dann ja folgen
> exp(i)=cos(0)+i*sin(0)=1+i*0=1 ???
> ist aber bestimmt falsch...
|
|
|
|
