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Exponentialfunktion: aufzeigen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 01.05.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] exp(x)\le\bruch{1}{1-x} [/mm] für alle [mm] x\in[0,1). [/mm]


hallo zusammen,

ich muss zeigen, dass exp(x) ≤ 1/(1−x) für alle x ∈ [0, 1). Ich verstehe nicht was ich hier genau machen soll und mit welchem vorgehen ich das beweisen kann. Es wäre sehr nett, wenn jemand mir verständlich und auch in Worten erklären könnte.

Danke!

        
Bezug
Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Mo 01.05.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich denke, die Reihendarstellung von exp(x) ist bekannt.
Schätze erstmal exp(-x) ab,
vllt hast Du danach eine Idee.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Austinn,

Es ist exp(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} [/mm] für jedes x [mm] \in \IR [/mm]

Und [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n}, [/mm] für |x| < 1.
(unendliche geometrische Reihe)


Siehst du nun eine Ähnlichkeit? :-)

Viele Grüße,
X3nion

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Exponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 01.05.2017
Autor: Austinn

hmm...
Soll ich also zeigen, dass: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] für alle [mm] x\in[0, [/mm] 1)? Aber wie mach ich das?


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Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mo 01.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> hmm...
> Soll ich also zeigen, dass: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
> für alle [mm]x\in[0,[/mm] 1)? Aber wie mach ich das?

>

Einmal scharf hinsehen, das steht doch schon da.

Was würdest du sagen, ist größer, 1 oder n! (für natürliche n>0)?

Wie sieht es dann mit dem Vergleich 1 vs. 1/n! aus?

Du musst mehr über dein eigenes Tun nachdenken und nicht dem Irrglaube verfallen, Mathematik würde sich mit Automatismen erledigen lassen.

PS: Lase dich auch nicht aus der Fassung bringen durch die Tatsache, dass die Ungleichung offensichtlich für alle [mm] x\ge{0} [/mm] stimmt. Damit stimmt sie automatisch auch für den betrachteten Bereich.


Gruß, Diophant

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Exponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 01.05.2017
Autor: Austinn


> Was würdest du sagen, ist größer, 1 oder n! (für natürliche n>0)?

[mm] n!\ge1. [/mm]

> Wie sieht es dann mit dem Vergleich 1 vs. 1/n! aus?

[mm] 1/n!\le1 [/mm]
Aber betrachten wir hier denn nicht [mm] x\in[0,1)? [/mm]

Und wäre denn der Beweis damit nicht zu ende wenn wir die beiden bekannten Reihen haben und wissen, dass für [mm] x\in[0,1) [/mm] damit gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}? [/mm]

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Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Di 02.05.2017
Autor: fred97

Für x [mm] \in [/mm] [0,1) und n [mm] \in \IN_0 [/mm] ist

$ [mm] \frac{x^{n}}{n!} \le x^{n} [/mm] $.

Also folgt

[mm] $e^x= \summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x} [/mm] $





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Exponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Diophant!

> PS: Lase dich auch nicht aus der Fassung bringen durch die
> Tatsache, dass die Ungleichung offensichtlich für alle
> [mm]x\ge{0}[/mm] stimmt. Damit stimmt sie automatisch auch für den
> betrachteten Bereich.

Vorsicht, der Meinung bin ich nicht.

Betrachte zum Beispiel x = 2.

Dann ist exp(2) > 0, aber [mm] \frac{1}{1-2} [/mm] = [mm] \frac{1}{-1} [/mm] = -1 < 0, und somit gilt nicht

exp(2) [mm] \le [/mm] -1

> Gruß, Diophant


Viele Grüße,
X3nion

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Bezug
Exponentialfunktion: Missverständnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:52 Di 02.05.2017
Autor: Diophant

Hallo Xenion,

>

> > PS: Lase dich auch nicht aus der Fassung bringen durch die
> > Tatsache, dass die Ungleichung offensichtlich für alle
> > [mm]x\ge{0}[/mm] stimmt. Damit stimmt sie automatisch auch für den
> > betrachteten Bereich.

>

> Vorsicht, der Meinung bin ich nicht.

>

> Betrachte zum Beispiel x = 2.

>

> Dann ist exp(2) > 0, aber [mm]\frac{1}{1-2}[/mm] = [mm]\frac{1}{-1}[/mm] = -1
> < 0, und somit gilt nicht

>

> exp(2) [mm]\le[/mm] -1

>

Da hast du mich missverstanden bzw. ich mich nicht klar genug ausgedrückt. Meine Aussage bezieht sich auf die Ungleichung

[mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\le{\sum_{n=0}^{\infty}x^n} [/mm]

Zu dieser hatte der Themenstarter ja seine zweite Frage gestellt, und auf diese bin ich in der Hauptsache eingegangen.


Gruß, Diophant

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Exponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Di 02.05.2017
Autor: fred97

Hallo Diophant,

möglicherweise verstehe ich Dich auch falsch. Ich hab Dich so verstanden: die Ungleichung

$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] $

gilt für alle x [mm] \ge [/mm] 0. Das ist aber falsch, denn die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] ist für x [mm] \ge [/mm] 1 divergent.

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Exponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Di 02.05.2017
Autor: Diophant

Hallo Fred,

>

> möglicherweise verstehe ich Dich auch falsch. Ich hab Dich
> so verstanden: die Ungleichung

>

> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]

>

> gilt für alle x [mm]\ge[/mm] 0. Das ist aber falsch, denn die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm] ist für x [mm]\ge[/mm] 1 divergent.

Ja schon, aber immerhin bestimmt divergent, und [mm] \infty [/mm] ist per Definition größer als jede reelle Zahl. Spricht da etwas dagegen, das als Ungleichung zu formulieren?

Gruß, Diophant

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Bezug
Exponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Di 02.05.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> >
>  > möglicherweise verstehe ich Dich auch falsch. Ich hab

> Dich
>  > so verstanden: die Ungleichung

>  >
>  > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\le\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]

>  
> >
>  > gilt für alle x [mm]\ge[/mm] 0. Das ist aber falsch, denn die

> Reihe
>  > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm] ist für x [mm]\ge[/mm] 1 divergent.

>  
> Ja schon, aber immerhin bestimmt divergent, und [mm]\infty[/mm] ist
> per Definition größer als jede reelle Zahl. Spricht da
> etwas dagegen, das als Ungleichung zu formulieren?

Nö, eigentlich nicht.

>  
> Gruß, Diophant


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