Exponentialfunktion einer Matr < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 10.07.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Exponential exp(A), wobei
[mm] A=\pmat{ i\lambda & 1&0&0 \\ 0&i\lambda&1 & 0\\0&0&i\lambda&0\\0&0&0&\delta }
[/mm]
Hinweis: Schreiben Sie A als A=N+D mit [mm] d\in [/mm] Mat(4,C) diagonal, [mm] N\inMat(4,C) [/mm] nilpotent ND=DN. Drücken Sie exp(A) durch exp(N) und exp(D) aus. |
Leider weiß ich nciht, was ich mit dem Hinweis anfangen soll.
Ich hätte jetzt nach Anleitung das charakteristische Polynom EW etc. ausgerechnet.....
Geht es auch einfacher??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 10.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Die Matrix ist schon in Jordan-Normalform. Schöner wird sie nicht. =)
Die Anleitung ist doch relativ ausführlich:
1. Was ist D?
2. Was ist N?
Ehrlich, nix kompliziertes. Was ist die einfachste Methode A in eine Diagonalmatrix und einen Rest zu spalten?
3. Ist ND=DN?
4. Was ist [mm] $N^2$, $N^3$?
[/mm]
Was ist also [mm] $(D+N)^2$, $(D+N)^3$, [/mm] ...?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 11.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Aber es gibt doch verschiedene Möglichkeiten für N und D?
Also z.B.
N:= [mm] \pmat{ i\lambda & 0&0&0 \\ 0 & i\lambda&0&0\\0&0&i\lamda&0 \\ 0&0&0&\delta}
[/mm]
D:= [mm] \pmat{0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}
[/mm]
aber dann ist N leider nicht nilpotent ....
Aber ander fällt mir jetzt nicht ein N und D darzustellen
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> Aber es gibt doch verschiedene Möglichkeiten für N und
> D?
> Also z.B.
>
> N:= [mm]\pmat{ i\lambda & 0&0&0 \\
0 & i\lambda&0&0\\
0&0&i\lamda&0 \\
0&0&0&\delta}[/mm]
>
> D:= [mm]\pmat{0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0}[/mm]
>
> aber dann ist N leider nicht nilpotent ....
> Aber ander fällt mir jetzt nicht ein N und D darzustellen
Hallo,
Dein N, warum auch immer Du es so genannt hast, ist aber diagonal, und Dein D ist nilpotent.
Was weißt Du sonst noch über das Matrixexponential?
Definition von exp(A)?
Habt Ihr bereits für Diagonalmatrizen exp(D) berechnet und für nilpotente exp(N)? Wenn ja, kann man die Ergebnisse verwenden, ebenso, falls bereits gezeigt wurde, daß [mm] e^{D+N}=e^Ne^D.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mo 11.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Oh... da habe ich sie dann wohl vertauscht... aber ist denn die Wahl der Matrizen richtig?
NAja wir haben so eine Art Anleitung bekommen, wie man das exp ausrechnen kann aber mehr auch nicht.
Daher weiß ich ja auch nicht, was ich mit dem Tip anfangen soll...
Allerdings haben wir schon gezeigt, dass [mm] e^{D+N}=e^Ne^D
[/mm]
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Hallo sissenge,
> Oh... da habe ich sie dann wohl vertauscht... aber ist denn
> die Wahl der Matrizen richtig?
Ja, [mm]D[/mm] ist dann eine Diagonalmatrix, also [mm]e^D=\pmat{e^{(\ldots)}&0&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots}[/mm]
>
> NAja wir haben so eine Art Anleitung bekommen, wie man das
> exp ausrechnen kann aber mehr auch nicht.
>
> Daher weiß ich ja auch nicht, was ich mit dem Tip anfangen
> soll...
>
> Allerdings haben wir schon gezeigt, dass [mm]e^{D+N}=e^Ne^D[/mm]
(Ist das denn dasselbe wie [mm] $e^De^N$ [/mm] ??)
Kommutieren denn $D$ und $N$, dh. gilt: $DN=ND$?
Das musst du schon rechnerisch überprüfen, damit auch [mm] $e^{D+N}=e^De^N$ [/mm] gilt!
Berechne dann noch den Nilpotenzgrad von $N$, dann ist [mm] $e^N$ [/mm] eine endliche Summe, die du leicht per Hand berechnen kannst ...
Damit ist es nicht mehr weit ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 11.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Ja es gilt ND=DN
Der nilpotentgrad von N ist 3
d.h. [mm] e^N [/mm] = E+N+1/2 [mm] N^2 [/mm]
So das heißt ich habe [mm] e^D [/mm] und [mm] e^N
[/mm]
Und dann ist exp(A)= exp(D+N)=exp(D)exp(N)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mo 11.07.2011 | | Autor: | sissenge |
vielen vielen Dank!!!!
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