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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Di 08.01.2008 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
(i) [mm] 9^{2x} [/mm] = [mm] 81^{3-2x}
[/mm]
(ii) 6 + [mm] ln\wurzel[3]{x^{10}} [/mm] = [mm] ln\wurzel[3]{x} [/mm] , x > 0
(iii) 8*ln14 + [mm] ln\wurzel[3]{7^{4(x-3)}} [/mm] = 8*ln2
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
zu (i): Dachte vllt. zieh ich ma die Wurzel: [mm] 3^{2x} [/mm] = [mm] 9^{3-2x}....aber [/mm] weiter komm ich da auch nicht^^...Wenn die Basen gleich sind kann man ja dann einfach den lg anwenden...aber was kann man hier machen?
zu (ii): [mm] 6+lnx^{1/3} [/mm] = [mm] lnx^{1/3}
[/mm]
6+10/3*lnx = 1/3*lnx
9/3*lnx = -6
lnx = -2 , da x > 0 [mm] \rightarrow [/mm] x = [mm] e^{2}
[/mm]
Aber irgendwie muss da was falsch sein, da ich nicht das selbe auf beiden Seiten rausbekomme :)
zu (iii): 8*ln14 + [mm] ln7^{(4x-12)*1/3} [/mm] = 8*ln2
8*ln14 + [mm] ln7^{4/3x-4} [/mm] = 8*ln2
und weiter....? :O
Freue mich auf jede Hilfe. MfG T-O-M-I
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Hallo xcase,
> Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
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> (i) [mm]9^{2x}[/mm] = [mm]81^{3-2x}[/mm]
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> (ii) 6 + [mm]ln\wurzel[3]{x^{10}}[/mm] = [mm]ln\wurzel[3]{x}[/mm] , x > 0
>
> (iii) 8*ln14 + [mm]ln\wurzel[3]{7^{4(x-3)}}[/mm] = 8*ln2
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> zu (i): Dachte vllt. zieh ich ma die Wurzel: [mm]3^{2x}[/mm] =
> [mm]9^{3-2x}....aber[/mm] weiter komm ich da auch nicht^^...Wenn die
> Basen gleich sind kann man ja dann einfach den lg
> anwenden...aber was kann man hier machen?
Ich würde vorschlagen, einige Potenzgesetze anzuwenden:
Es ist [mm] $9=3^2$ [/mm] und [mm] $81=3^4$
[/mm]
Damit ist [mm] $9^{2x}=81^{3-2x}\gdw \left(3^2\right)^{2x}=\left(3^4\right)^{3-2x}$
[/mm]
also [mm] $3^{2\cdot{}2x}=3^{4\cdot{}(3-2x)}$
[/mm]
Nun vergleiche die Exponenten
> zu (ii): [mm]6+lnx^{1/3}[/mm] = [mm]lnx^{1/3}[/mm]
> 6+10/3*lnx = 1/3*lnx
> 9/3*lnx = -6
> lnx = -2 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , da x > 0 [mm]\rightarrow[/mm] x = [mm]e^{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$x>0$, weil der [mm] \ln [/mm] nur für x>0 definiert ist:
Der Wertebereich vom [mm] \ln [/mm] geht aber von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty
[/mm]
Aus [mm] $\ln(x)=-2$ [/mm] folgt durch Anwendung der e-Funktion: [mm] $e^{\ln(x)}=e^{-2}$, [/mm] also [mm] $x=\frac{1}{e^2}$
[/mm]
>
> Aber irgendwie muss da was falsch sein, da ich nicht das
> selbe auf beiden Seiten rausbekomme :)
>
> zu (iii): 8*ln14 + [mm]ln7^{(4x-12)*1/3}[/mm] = 8*ln2
> 8*ln14 + [mm]ln7^{4/3x-4}[/mm] = 8*ln2
> und weiter....? :O
Hier kannst du zwei Logarthmusgesetze ganz gut gebrauchen:
(1) [mm] $\ln(a\cdot{}b)=\ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
(2) [mm] $\ln\left(a^m\right)=m\cdot{}\ln(a)$
[/mm]
Bedenke [mm] 14=2\cdot{}7 [/mm] und [mm] \sqrt[3]{7^{4(x-3)}}=7^{(...)}
[/mm]
Kommst du damit weiter?
> Freue mich auf jede Hilfe. MfG T-O-M-I
Gruß
schachuzipus
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hehe,
ich sehe gerade erst, dass du bei der (a) ja direkt die 9 als Basis nehmen kannst.
Es ist ja [mm] 81=9^2
[/mm]
Damit verkürzt sich das etwas - ich war irgendwie auf die 3 fixiert 
Na egal, Hauptsache, es kommt das Richtige heraus, oder?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Mi 09.01.2008 | | Autor: | xcase |
Das stimmt allerdings ;)
zu (i): x = 1
zu (ii): x = [mm] 1/e^2
[/mm]
zu (iii):
(s.o.) [mm] \rightarrow 8*ln14+(\bruch{4}{3}x-4)ln7 [/mm] = 8*ln2
[mm] 8*ln14+\bruch{4}{3}xln7 [/mm] = 8*ln2 + 4*ln7
und weiter?^^
Das mit den Rechenregeln waere natuerlich supter.
Nur was kann ich denn mit den faktoren vor dem ln anfangen :O
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
