Exponentialfunktoinen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 05.02.2007 | | Autor: | DieEva |
| Aufgabe | Aufgabe 4
Heißer Kaffee von 70 Grad kühlt sich bei einer Zimmertemperatur von 20 Grad innerhalb von 10 Minuten auf 48 Grad ab. Danach bleibt er weitere 20 Minuten stehen. Anschließend wird er zur Herstellung von Eiskaffee in die Tiefkühltruhe mit -18 Grad gestellt.
a) Wie lange dauert es insgesamt, bis sich der Kaffee von 70 Grad auf 5 Grad abgekühlt hat? Wann erreicht er die Temperatur 0 Grad?
b) Formulieren Sie ähnliche Abkühlungsvorgänge und bearbeiten Sie diese. |
a) Bei einer Zimmertemperatur von 20 Grad gilt folgende Funktion:
f(t)= 70* [mm] 0,96297^t
[/mm]
Nach 30 Minuten, bei einer Zimmertemperatur erreicht der Kaffee also eine Temperatur von 22,567 Minuten.
Da nun verlangt ist bei veränderter Zimmertemperatur den Abfall zu berechnen, hatte ich mir gedacht eine neue Funktion aufzustellen, die Zeit dort zu berechnen und hinterher zu den 30 Min der vorhergegangen zu addieren. Doch hier ist mein Problem, so weit war ich gekommen:
f(x)= 22,567*e^kt
Da nach 5 Grad verlangt ist habe ich die Funktion mit 5 gleich gesetzt, also:
5 = 22,567*e^kt
5/22,567 = e^kt
Um "k" herauszubekommen wendete ich den ln an:
ln (5/22,567) = k*t
-1,5 = k*t
-1,5/t = k
f(t)= 22,567*e^-1,5/t
Um den Zeitpunkt t bei 5 Grad zu bestimmen, setzte ich weiterhin mit 5 gleich und stelle nach t um:
5 = 22,567*e^-1,5/t
5/22,567 = e^-1,5/t
ln (5/22,567) = -1,5/t* ln e
ln (5/22,567) = -1,5/t
t = -1,5/ln (5/22,567)
t = 0,99
Die Zeit die vergehen müsste, damit die Temperatur 5 Grad erreicht wäre also 0,99 Stunden, aber das haut doch irgendwie nicht hin oder? Ich komme an der Stelle gar nicht weiter, hab da auch schon 90 Minuten mit meiner Nachhilfe dran gesessen, aber irgendwie kamen wir immer wieder auf ein falsches Ergebniss.
(Zu b) hab ich noch gar keinen Ansatz)
Danke im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Also Ich würde als ansatz für die erste funktion [mm] f(x)=G-d*e^{-kx} [/mm] wählen.
Mit deinen vorgaben ergibt sich dann:
[mm] f(x)=20+50*e^{-(-\bruch{ln (0,56)}{10})x}
[/mm]
Ich bin mir zwar nicht ganz sicher aber es dürfte so richtig sein und ab hier ist der weg dann etwas leichter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 05.02.2007 | | Autor: | DieEva |
Danke für die Bemühungen, aber ehrlich gesagt kann ich jetzt mit dieser neuen Funktion gar nichts anfangen, ich weiss weder wie genau sie zu stande gekommen ist, noch hilft mir diese ganz neue weiter.
Eentweder bitte kleinschrittig erklären, sodass ich sie nachvollziehen und anwenden kann oder einfach meinen Aansatz korrigieren, denn konnte ich nämlich bis auf den Fehler der anscheinend ist in der Rechnung noch nachvollziehen.
|
|
|
| |
|
Ich glaube, dass du deinen Ansatz nicht verwanden kannst, da du von exponentiellem Wachstum/Verfall ausgehst. Es ist aber, begründet durch die Umgebungstemperatur (erst 20° dann -18°) beschränktes Wachstum. Diue allgemeine Vorschrift für Funktionen des beschränkten Wachstums ist: [mm] f(x)=G-d*e^{-k*x}
[/mm]
dabei ist G die Grenze gegen welche das ganze tendiert. Also am anfang erst einmal 20.
nun hast du dein Bedingungen:
f(0)=70
mit diesen beiden Bedingungen kannst du nun deine Funtion aufstellen:
[mm] f(x)=G-d*e^{-k*x}
[/mm]
G=20
f(o)=70 folgt 20-d=70
mit G und d bekannt, nutzt du nun f(10)=48 um nach k aufzulösen.
Sobald das Teil nun in den Kühler kommt, ist G natürlich -18 und deine erste Bedingung ist g(0)=f(30)
Ich hoffe es hilft dir weiter!
|
|
|
|
