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Exponentialgleichungen: Widerspruch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:56 Do 12.04.2018
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>
5*3^(2x-1)=4^(x-3)
 


<br>Zu dieser Exponentialgleichung habe ich zwar eine Lösung, aber für mich liegt trotzdem ein Widerspruch vor:
- meine Lösung: x= -5,76, x eingesetzt in die Gleichung ergibt eine wahre Aussage
- die Gleichung forme ich um in eine Funktion, die dann den Funktionswert Null ergibt. 
- Und jetzt der Widerspruch: Eine Exponentialfunktion hat keine Nullstelle, lt Rechnung aber doch.
Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?

Hier meine Lösungsweg:
         5*3^(2x-1)=4^(x-3)
    [mm] 5*3^{2x}*3^{-1}=4^x*4^{-3} [/mm]
        [mm]  3^{2x}*5/3=4^x*1/64 [/mm]
            [mm] 9^x*5/3=1/64  [/mm]  (dividiert durch [mm] 4^x) [/mm]
        [mm] (9/4)^x*5/3=1/64  [/mm]   (dividiert durch 5/3)
            [mm] (9/4)^x=0,009375 [/mm]
   log zur Basis (9/4) 0,009375=x
                  x= -5,76

MfG
wolfgangmax

 

        
Bezug
Exponentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Do 12.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> 5*3^(2x-1)=4^(x-3)
>  

>

> Zu dieser Exponentialgleichung habe ich zwar eine
> Lösung, aber für mich liegt trotzdem ein Widerspruch
> vor:
> - meine Lösung: x= -5,76, x eingesetzt in die Gleichung
> ergibt eine wahre Aussage
> - die Gleichung forme ich um in eine Funktion, die dann
> den Funktionswert Null ergibt.

Man kann nicht eine Gleichung in eine Funktion umformen. Was du vermutlich meinst, ist die Gleichung auf die Nullform zu bringen und den (auf der anderen Seite der Gleichung) entstandenen Term als Funktionsterm aufzufassen, also bspw. so:

[mm]5*3^{2x-1}-4^{x-3}=0[/mm]

> - Und jetzt der Widerspruch: Eine Exponentialfunktion hat
> keine Nullstelle, lt Rechnung aber doch.
> Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?

Wenn ich mit meiner Vermutung richtig liege, dann ist das ja keine Exponentialfunktion mehr, sondern eine Summe bzw. Differenz zweier Exponentialfunktionen. So eine Differenz kann selsbtverständlich Nullstellen besitzen (sonst hätte die Grundgleichung ja keine Lösung!).

> Hier meine Lösungsweg:
>          5*3^(2x-1)=4^(x-3)
>     [mm]5*3^{2x}*3^{-1}=4^x*4^{-3}[/mm]
>         [mm] 3^{2x}*5/3=4^x*1/64[/mm]
>             [mm]9^x*5/3=1/64 [/mm]  (dividiert durch [mm]4^x)[/mm]
>         [mm](9/4)^x*5/3=1/64 [/mm]   (dividiert durch 5/3)
>             [mm](9/4)^x=0,009375[/mm]
>    log zur Basis (9/4) 0,009375=x
>                   x= -5,76

Die Lösung stimmt, ich habe es nochmal nachgerechnet.


Gruß, Diophant
 

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