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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 08.01.2006 | | Autor: | Julee |
| Aufgabe 1 | | [mm] 5*6^{x+1}=2^{3x} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] 5^{x+1}*7^x=3^{2x-5} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich weiß einfach nicht wie ich diese beiden Gleichungen lösen soll. Mit nur einem x kann ich Exponetialgleichungen recht gut lösen, jedoch bei 2 oder mehr komm ich nicht weiter. Ich hoffe mir kann jemand bei diesen Aufgaben helfen und möglichst Schrittweise erklären.
mfg Jule
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Hi, Julee,
> [mm]5*6^{x+1}=2^{3x}[/mm]
> [mm]5^{x+1}*7^x=3^{2x-5}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du sollst aber schon auch selbst was tun!
Daher hier ein paar Tipps zum Umgang mit Potenzen:
(1) [mm] a^{b+c} [/mm] = [mm] a^{b}*a^{c}. [/mm]
Beispiel: [mm] 3^{x+1} [/mm] = [mm] 3^{x}*3^{1} [/mm] = [mm] 3*3^{x}
[/mm]
(2) [mm] a^{x}*b^{x} [/mm] = [mm] (a*b)^{x}
[/mm]
und auch: [mm] a^{x}:b^{x} [/mm] = [mm] (\bruch{a}{b})^{x}
[/mm]
Beispiel: [mm] 5^{x}*7^{x} [/mm] = [mm] 35^{x}
[/mm]
(3) [mm] a^{2x} [/mm] = [mm] (a^{2})^{x}
[/mm]
Beispiel: [mm] 5^{2x} [/mm] = [mm] 25^{x}
[/mm]
So: Und nun probier's mal selbst, ob Du die Aufgaben lösen kannst!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
[mm] $5*6^{x+1}=2^{3x}$
[/mm]
> ich weiß einfach nicht wie ich diese beiden Gleichungen lösen soll. Mit nur einem x kann ich Exponetialgleichungen recht gut lösen, jedoch bei 2 oder mehr komm ich nicht weiter.
Also: Versuche, die beiden Terme, die x enthalten, zusammen zu führen, zum Beispiel so:
[mm] $5*6^{x+1}=2^{3x}$ [/mm] Nun den Exponenten $x+1$ zerlegen (siehe Angaben von Zwerglein)
[mm] $5*6^x*6^1=\left( 2^3 \right)^x$ [/mm]
[mm] $5*6*6^x=8^x$
[/mm]
$ [mm] 30=\br {8^x}{6^x}=\left( \br {8}{6} \right)^x=\left( \br {4}{3} \right)^x$ [/mm] Nun logarithmieren, um x "herunter" zu holen
$ln(30)=ln [mm] \left( \br {4}{3} \right)^x$
[/mm]
$ln(30)=x*ln [mm] \left( \br {4}{3} \right)= [/mm] x*[ ln(4)-ln(3)]$
$x= [mm] \br [/mm] {ln(30)}{ln(4)-ln(3)} [mm] \approx [/mm] 11.83$
Klappt es jetzt mit der zweiten Gleichung?
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 08.01.2006 | | Autor: | Julee |
Vielen Dank soweit dominik die erste Aufgabe hab ich jetzt verstanden. Bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht wie ich mit dem Term [mm] 3^{2x-5} [/mm] umgehen soll. Ich hab den umgeformt in
[mm] 9^{x-5}. [/mm]
Die ganze gleichung sieht jetzt so aus:
[mm] 35^x*5=9^{x-5}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiterrechnen?
jule
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Hallo dominik!!!!!!!!
Die Lösung von dominik ist falsch!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Deine Rechnung ist zum Ende hin irgenwie totaler Quatsch. Die Gleichung hat keine Lösung!!!!!!!
Mit freundlichen Grüßen
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
> Deine Rechnung ist zum Ende hin irgenwie totaler Quatsch. Die Gleichung hat keine Lösung!!!!!!!
>
> Goldener_Sch.
Lieber Goldener_Sch.!
(Übrigens: Wofür steht "Sch" ?)
Bestimmt sagst Du uns, wo der Fehler liegt und weshalb die Gleichung keine Lösung haben soll. "Irgendwie totaler Quatsch" ist ein zu wenig präziser mathematischer Ausdruck, und die zahlreichen Ausrufezeichen machen die Angelegenheit auch nicht "wahrer"!
Nun im Ernst: Wenn wir in der Gleichung
[mm] $5*6^{x+1}=2^{3x}$
[/mm]
die als Lösung (nach wie vor!) etwa 11.83 hat, den Wert 12 einsetzen, ergibt sich für die linke Seite der Gleichung:
[mm] $5*6^{x+1}=5*6^{13}=65'303'470'080$
[/mm]
Für die rechte Seite ergibt sich:
[mm] $2^{3x}=2^{36}=68'719'476'736$
[/mm]
Die beiden Ergebnisse lassen sich bei dieser groben Rundung und den grossen Potenzen durchaus vergleichen.
Noch einmal viele Grüsse
dominik
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Hallo Julee!!!!!!!!
... und einen schönen Abend!!!
Die erste Gelchung hat keine Lösung! Guckst du hier!!!!
[mm]5*6^{x+1}=2^{3x}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]5*2^{3*(x+1)}=2^{3x}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]5*2^{3x+3}=2^{3x}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]5*2^{3}*2^{3x}=2^{3x}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]5*6*2^{3x}=2^{3x}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]30*2^{3x}=2^{3x}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]log_{2}30*3x=3x[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]log_{2}30=0 n.l.[/mm]
Somit ist die Lösungsmenge leer!
Hoffe, ich konnte helfen!!!!!!!
Mit freundlichen Grüßen
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 08.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Leute,
Dominiks Lösung stimmt!
Goldener_Sch. hat Unrecht, wenn er behauptet: 6 = [mm] 2^{3} [/mm] !
(das tut er bei seinem Vorschlag gleich zweimal!)
mfG!
Zwerglein
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Hallo Leute!!!!!!!
... ich schäme mich für den Rest dieses Tages, versprochen....
Ich habe das so falsch grechnet, wie es es gepostet habe und ich hatte es sogar zur Sicherheit noch einmal von ![[]](/images/popup.gif) diesem Rechner prüfen lassen. Ich war nicht davon ausgegangen, dass Herr Brünners Rechner nach so langer Zei noch Fehler hat... Er hat nämlich im Interval von -50 bis 50 keine Lösung gefunden, findet aber bei Erweiterung des Intervall doch eine: -417 
Na ja, ich schwäme mich dann mal..
Entschuldigung an alle!!!!!!!!!!!!!!!!!
Mit freundlichen Grüßen ...und einen SCHÖNEN Abend
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
... kann jedem mal passieren!
Gruss
dominik
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Hallo Domink,
noch einmal ein großes ENSCHULDIGUNG für das was gestern war!
Jetzt kommen meine Lösungen:
Aufgabe 1:
[mm]5*6^{x+1}=2^{3x}[/mm]
[mm]5*6^1*6^{x}=(2^x)^3[/mm]
[mm]5*6*6^{x}=8^x[/mm]
[mm]30*6^{x}=8^x[/mm]
[mm]30=\left( \bruch{8}{6} \right)^x[/mm]
[mm]log_{\left \bruch{8}{6} \right}30=x[/mm]
[mm]log_{\left \bruch{4}{3} \right}30=x[/mm]
[mm]x=\left \bruch{lg30}{lg\left \bruch{4}{3} \right} \right[/mm]
[mm]x\approx11,82276446[/mm]
Aufgabe 2:
[mm]5^{x+1}*7^x=3^{2x-5}[/mm]
[mm]5^x*5^1*7^x=3^{2x-5}[/mm]
[mm]5^x*5*7^x=3^{2x}*\left \bruch{1}{3^5} \right[/mm]
[mm]5^x*5*7^x=3^{2x}*\left \bruch{1}{243} \right[/mm]
[mm]5^x*1215*7^x=3^{2x}[/mm]
[mm]5^x*1215*7^x=(3^x)^2[/mm]
[mm]5^x*1215*7^x=9^x[/mm]
[mm](35)^x*1215=9^x[/mm]
[mm]\left( \bruch{9}{35} \right)^x=1215[/mm]
[mm]x=\left \bruch{lg1215}{lg\left \bruch{9}{35} \right} \right[/mm]
[mm]x\approx -5,22964181[/mm]
So, ich haben fertig .
Mit freundlichen Grüßen
Goldener_Sch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
> [mm]5^{x+1}*7^x=3^{2x-5}[/mm]
> Bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht wie ich mit dem Term $ [mm] 3^{2x-5} [/mm] $ umgehen soll. Ich hab den umgeformt in [mm] $9^{x-5}. [/mm] $
Vorsicht! Schau Dir die Angaben von Zwerglein noch einmal an. Geh "langsam", Schritt für Schritt vor. Rechte Seite:
[mm] $3^{2x-5}=3^{2x}*3^{-5}=\left( 3^2 \right)^x* \br {1}{3^5}= \br {9^x}{3^5}$
[/mm]
Linke Seite:
[mm] $5^{x+1}*7^x=5^x*5^1*7^x=(5*7)^x*5=35^x*5$
[/mm]
Also:
[mm] $35^x*5= \br {9^x}{3^5}$ [/mm] Mit [mm] $3^5$ [/mm] erweitern
[mm] $35^x*5*3^5=9^x$ [/mm] Durch [mm] 35^x [/mm] dividieren
[mm] $5*3^5= \br {9^x}{35^x}= \left( \br {9}{35}\right)^x$
[/mm]
$1215= [mm] \left( \br {9}{35}\right)^x$ [/mm] Logarithmieren
$ln(1215)=ln [mm] \left[\left( \br {9}{35}\right)^x \right]=x*ln \left( \br {9}{35}\right)=x*[ln(9)-ln(35)]$
[/mm]
$x= [mm] \br [/mm] {ln(1215)}{ln(9)-ln(35)} [mm] \approx [/mm] -5.23$
Viele grüsse
dominik
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