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Forum "Folgen und Reihen" - Exponentialreihe
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Exponentialreihe: für x=0 festgelegt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mo 01.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Ich wollte mal fragen, ob man einfach festgelegt hat, dass exp(0)=1 ist, denn nach der Definition der Exponentialreihe würde ja gelten:

[mm] exp(0)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0^n}{n!} [/mm] = 0 oder nicht?

In einem Beweis, wo gezeigt wird, dass [mm] exp(n)=e^n \forall n\in\IZ [/mm] wird als Induktionsvoraussetzung aber einfach geschrieben: [mm] exp(0)=1=e^0. [/mm]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
Exponentialreihe: Fehler in "Potenzrechnung"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mo 01.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Bastiane!


> Ich wollte mal fragen, ob man einfach festgelegt hat, dass
> exp(0)=1 ist, denn nach der Definition der Exponentialreihe
> würde ja gelten:
>  
> [mm]exp(0)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0^n}{n!}[/mm] = 0 oder
> nicht?

[notok] Nein! Diese Summe ausgeschrieben lautet ja:  [mm]\exp(0) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0^n}{n!} \ = \ \bruch{0^{\red{0}}}{0!}[/mm]

Dein Fehler liegt wohl in der Annahme: [mm] $0^{\red{0}} [/mm] \ = \ 0$, aber das stimmt nicht !!


Durch Grenzwertbetrachtung (für positive $x_$) kann man nachweisen:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+}x^x [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}e^{x*\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\limes_{x\rightarrow 0+}x*\ln(x)} [/mm] \ = \ ... \ = \ 1$



[mm]\Rightarrow \ \ \exp(0) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0^n}{n!} \ = \ \bruch{0^0}{0!} \ = \ \bruch{1}{1} \ = \ 1[/mm]

Und nun stimmt es auch mit der "normalen Potenzrechnung" [mm] $e^0 [/mm] \ = \ 1$ wieder überein.


Auch mit der anderen Definition der exp-Funktion [mm] $\exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right)^n$ [/mm] klappt es:

[mm] $\exp(0) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\left(1 + \bruch{0}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}1^n [/mm] \ = \ 1$  [ok]


Und, Fehler eingesehen?

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Exponentialreihe: O ja.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Mo 01.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo Loddar!
> > Ich wollte mal fragen, ob man einfach festgelegt hat, dass
> > exp(0)=1 ist, denn nach der Definition der Exponentialreihe
> > würde ja gelten:
>  >  
> > [mm]exp(0)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0^n}{n!}[/mm] = 0 oder
> > nicht?
>  
> [notok] Nein! Diese Summe ausgeschrieben lautet ja:  
> [mm]\exp(0) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{0^n}{n!} \ = \ \bruch{0^{\red{0}}}{0!}[/mm]
>  
> Dein Fehler liegt wohl in der Annahme: [mm]0^{\red{0}} \ = \ 0[/mm],
> aber das stimmt nicht !!

O ja, du hast Recht. Ich hatte gedacht "Null hoch irgendwas ist immer 0" und habe mir gar nicht die einzelnen Summanden angeguckt... [kopfschuettel] Dass [mm] 0^0=1 [/mm] ist wusste ich natürlich...

Den Rest hättest du gar nicht schreiben brauchen - diese Fehler hier hätte mir schon gereicht. ;-) Aber trotzdem danke.

Viele Grüße
Christiane
[winken]

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