Exponentielles < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
ich mag Mathe nach Gefühl nicht u. will es deshalb genau wissen u. nicht nur schätzen, tippen, vermuten.
Ich fühle, dass a u. d exponentiell sind. Problem:
Ich weiß nicht, ob das richtig ist. Deswegen brauche ich es mathemat. berechnet. Aber wie?
d ist wahrscheinl. quadratisch, aber das ist doch auch exponentiell oder etwa nicht?
Das einzige, was ich weiß, ist, dass nur eine lineare Fkt. dabei ist. Nämlich die, wo der y-Wert immer um den gleichen Wert steigt. Und das ist c.
Und b weiß ich gar nicht.
Was ich versucht habe, um es schwarz auf weiß zu wissen: Ich habe die allgemeinen Formen der Funktionen, wie
y =mx+b
y [mm] =ax^2+bx+c
[/mm]
y [mm] =a^x
[/mm]
In diese Formen habe ich immer 2 Koordinaten einer Wertetabelle eingesetzt u. dann mit Gleichsetzg.-Verfahren oder Einsetzgs.Verfahren gelöst.
Problem: Zu aufwändig u. außerdem reicht es nicht, wenn man dann die Fkt. bestimmt hat, zur Kontrolle nur 2 Wertepaare einzusetzen u. auszuprobieren, ob es passt. Bei 2 passte es, beim Einsetzen einer dritten Koordinate in die zuvor bestimmte Fkt. passte es dann nämlich leider nicht mehr.
Wie muss ich so eine Aufg. angehen, ohne fühlen u. ahnen u. vermuten?
Für Antw. vielen DANK im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
keine Ahnung, warum er mich nicht nach dem Foto am Ende gefragt hat.
ich bin doch auf Bild-Anhang gegangen.
Hoffe es klappt jetzt:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
mein Fehler, sorry
Aber jetzt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 So 31.10.2010 | | Autor: | abakus |
> mein Fehler, sorry
> Aber jetzt
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
exponentiell ist es immer dann, wenn bei einer gleichmäßigen (also linearen) Zunahme von x die entsprechende Änderung von y durch eine Multiplikation mit jeweils dem selben Faktor erreicht wird. Bei a) musst du jeden y-Wert mit 3 multiplizieren und erhältst den nächsten Wert.
Bei d) musst du jeweils mit 0,5 multiplizieren.
Eine quadratische Parabel ist durch 3 Punkte eindeutig bestimmt.
Falls b) quadratisch ist, müsste es also 3 Werte a, b und c geben, sodass
dreimal [mm] y=a*x^2+bx+c [/mm] gilt. Dazu musst du jeweils eine Gleichung mit einem gegebenen x-Wert und dem zugehörigen y-Wert aufstellen.
Für deine ersten drei Wertepaare bedeutet das
[mm] 5=a*1^2+b*1+c
[/mm]
[mm] 7=a*2^2+b*2+c
[/mm]
[mm] 10=a*3^2+b*3+c
[/mm]
Daraus wird
5=1a+1b+1c
7=4a+2b+1c
10=9a+3b+1c
Wenn du dieses Gleichungssystem lösen kannst, hast du die Werte für a, b und c (und mit diesen Werten klappen auch die übrigen Wertepaare).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
hey, das wars was ich wissen wollte. Wären noch mehr exponentielle Wertetabellen da gewesen, dann kann man sich das ja auch erschließen, was du da erklärt hast. DANKE, das war gut.
Zum zweiten:
Kenne die 3 Verfahren zum Lösen von Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Jetzt habe ich 3 Unbekannte u. versuche es trotzdem mal mit dem mir bekannten Werkzeug.
Falls das nicht geht u. ich da in die Sackgasse laufe, freue ich mich natürlich über erneute Antw. - ich bleibe solange dran. Und danke nä?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
das war ja ne Tüfelei. Hab mich da irgendwie durchgewurschtelt.
Hätte nun gern gewußt, ob alles stimmt
a= [mm] -\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] b=\bruch{7}{6}
[/mm]
c= 4
Ihr müßt euren Lösungsweg nicht hier schreiben. Ich brauche nur die Ergebnisse u. versuche es dann irgendwie nochmal. DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 31.10.2010 | | Autor: | abakus |
> das war ja ne Tüfelei. Hab mich da irgendwie
> durchgewurschtelt.
> Hätte nun gern gewußt, ob alles stimmt
>
> a= [mm]-\bruch{1}{6}[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{7}{6}[/mm]
>
> c= 4
Hallo,
die Probe für x=2 ergibt mit deiner Lösung ein anderes y, als eigentlich rauskommen sollte.
Schauen wir mal den Anfang:
a+b+c=5
4a+2b+c=7
9a+3b+c=10
Man kann die ersten beiden Gleichungen nach c umstellen und dann gleichsetzen:
c=5-a-b
c=7-4a-2b
Also gilt 5-a-b=7-4a-2b
Daraus folgt b=2-3a.
Jetzt kann b ersetzt werden durch diesen Term und wir erhalten aus der zweiten Gleichung
4a+2(2-3a)+c=7
und aus der dritten Gleichung
9a+3(2-3a)+c=10
Das sind nur noich zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten, das kannst du sicher lösen.
Gruß Abakus
>
> Ihr müßt euren Lösungsweg nicht hier schreiben. Ich
> brauche nur die Ergebnisse u. versuche es dann irgendwie
> nochmal. DANKE
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Habe es jetzt nach deinem Weg gerechnet u. selber die Probe gemacht. Das hat geklappt. Vielen DANK!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Abakus,
du schriebst vor geraumer Zeit zum Erkennen an den Wertetabellen um was für eine Art Fkt. es sich handelt
<Bei d) musst du jeweils mit 0,5 multiplizieren.
Hast du dir nur die y-Werte angeschaut oder auch die x-Werte?
Die in dem Buch sind so "fies", dass sie nämlich in Doppelschritten die x-Werte angeben, also 0, 2, 4, 6, usw.
Nicht wie bei a), wo erst 1, 2, 3 , 4 usw.
Ich würde bei d) die x-se mit den ungeraden auffüllen u. dann nochmal die y-Folge anschauen.
Aber ich weiß nicht, wie ich an die fehlenden y-Werte rankomme.
Zu billig - einfach nur die Mitte (v. z.B. 64 und 32) zu nehmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 31.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
> du schriebst vor geraumer Zeit zum Erkennen an den
> Wertetabellen um was für eine Art Fkt. es sich handelt
> <Bei d) musst du jeweils mit 0,5 multiplizieren.
> Hast du dir nur die y-Werte angeschaut oder auch die
> x-Werte?
> Die in dem Buch sind so "fies", dass sie nämlich in
> Doppelschritten die x-Werte angeben, also 0, 2, 4, 6, usw.
> Nicht wie bei a), wo erst 1, 2, 3 , 4 usw.
> Ich würde bei d) die x-se mit den ungeraden auffüllen u.
> dann nochmal die y-Folge anschauen.
> Aber ich weiß nicht, wie ich an die fehlenden y-Werte
> rankomme.
> Zu billig - einfach nur die Mitte (v. z.B. 64 und 32) zu
> nehmen.
Hallo,
nehmen wir mal das exponentielle Wachstum [mm] y=5*2^x.
[/mm]
Das ergibt folgende Wertetabelle:
x y
1 10
2 20
3 40
4 80
5 160
6 320
Von einem zum nächsten Wert kommt man mit "mal 2".
Das heißt auch: Von einem zum übernächsten Wert kommt man mit "mal 2 mal 2" (also mal 4). Damit kann man so ein Wachstum auch mit Lücken in den Werten rekonstruieren.
Beispiel:
1 1
2 ?
3 16
4 ?
5 256
6 ?
Um vom ersten auf den zweiten Wert zu kommen, musste man mit irgendeinem unbekannten Faktor (nennen wir ihn q) multiplizieren.
Vom 2. auf den 3. Wert musste man mit dem selben Faktor q multiplizieren.
Wie kommt man dann vom 1. zum dritten Wert?
Natürlich mit "mal q mal q", also "mal [mm] q^2". [/mm] Nun stelle ich fest, dass dabei der Wert 16mal so groß wird. Also gilt [mm] q^2=16 [/mm] und damit q=4.
>
In deinem Beispiel mit der Halbierung zum übernächsten Wert galt entsprechend [mm] q^2=0,5, [/mm] also [mm] q=\wurzel{0,5} [/mm] (ein gerundeter Näherungwert dafür ist 0,707).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 31.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> ich mag Mathe nach Gefühl nicht u. will es deshalb genau
> wissen u. nicht nur schätzen, tippen, vermuten.
Gefühl ist etwas Wunderbares und gehört zur Mathematik unbedingt dazu !
Erst durch ein Gefühl bekommt man doch die Idee dafür, was man denn schätzen, tippen oder vermuten sollte. Natürlich muss eine solche Vermutung anschließend bewiesen werden, aber jeder Beweis beginnt doch damit, dass man sich überlegt, was man denn eigentlich beweisen will.
> Ich fühle, dass a u. d exponentiell sind. Problem:
> Ich weiß nicht, ob das richtig ist. Deswegen brauche ich
> es mathemat. berechnet. Aber wie?
richtig.
Das Kriterium für exponentielles Wachstum ist, dass immer dann, wenn x um einen bestimmten Summanden vergrößert wird (um 1 bei a., um 2 bei d.), dann wird y mit einem bestimmten Faktor nultipliziert (3 bei a., 0,5 bei d.)
> b ist wahrscheinl. quadratisch, aber das ist doch auch
> exponentiell oder etwa nicht?
b. ist tatsächlich quadratisch, aber exponentiell ist doch etwas völlig anderes.
> Das einzige, was ich weiß, ist, dass nur eine lineare
> Fkt. dabei ist. Nämlich die, wo der y-Wert immer um den
> gleichen Wert steigt. Und das ist c.
richtig.
Bei b. nehmen die Differenzen der y-Werte bei jedem Schritt um einen konstanten Summanden (nämlich um 1) zu : 7-5=2, 10-7=3, dann 4, dann 5.
Deshalb ist y eine quadratische Funktion.
Anmerkung:
Wenn die Differenzen der Differenzen um einen konstanten Summanden zunehmen würden, dann wäre y eine kubische Funktion [mm] (y=ax^3+bx^2+cx+d) [/mm] usw.
> Und b weiß ich gar nicht.
>
> Was ich versucht habe, um es schwarz auf weiß zu wissen:
> Ich habe die allgemeinen Formen der Funktionen, wie
> y =mx+b
> y [mm]=ax^2+bx+c[/mm]
> y [mm]=a^x[/mm]
> In diese Formen habe ich immer 2 Koordinaten einer
> Wertetabelle eingesetzt u. dann mit Gleichsetzg.-Verfahren
> oder Einsetzgs.Verfahren gelöst.
Da bei b. drei Parameter (a, b, c) zu bestimmen sind, musst du drei Punkte einsetzen, du bekommst 3 Gleichungen mit 3 Variablen, was hier eindeutig lösbar ist.
> Problem: Zu aufwändig u. außerdem reicht es nicht, wenn
> man dann die Fkt. bestimmt hat, zur Kontrolle nur 2
> Wertepaare einzusetzen u. auszuprobieren, ob es passt. Bei
> 2 passte es, beim Einsetzen einer dritten Koordinate in die
> zuvor bestimmte Fkt. passte es dann nämlich leider nicht
> mehr.
>
> Wie muss ich so eine Aufg. angehen, ohne fühlen u. ahnen
> u. vermuten?
> Für Antw. vielen DANK im voraus!
>
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 31.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
ich:
b ist wahrscheinl. quadratisch, aber das ist doch auch exponentiell oder etwa nicht?
du:
b. ist tatsächlich quadratisch, aber exponentiell ist doch etwas völlig anderes.
Jetzt ich wieder
Wieso - bei quadrat. ist der Exponent 2 (Exponent - exponentiell)
Ja, da hängt doch was zus., aber das muss ich erstmal auseinanderhalten. Ich glaube ich habe heute zum ersten richtig wirklich den Unterschied "verstanden". (Potenz-Fkt. = Polynome n-ten Grades u. Exponential-Fkt. da hockt die Variable x als Exponent da oben).
du:
Bei b. nehmen die Differenzen der y-Werte bei jedem Schritt um einen konstanten Summanden (nämlich um 1) zu : 7-5=2, 10-7=3, dann 4, dann 5. Deshalb ist y eine quadratische Funktion.
ich:
wie das gemeint ist habe ich erst kapiert, indem ich es an noch einer anderen [mm] (y=x^2+2) [/mm] ausprobiert habe. Sehr interessant, wie das alles so funktioniert.
du:
Anmerkung: Wenn die Differenzen der Differenzen um einen konstanten Summanden zunehmen würden, dann wäre y eine kubische Funktion usw.
ich:
Wieso das? Ich untersuche bei qaudrat. Fkt. doch auch schon die Differenzen der Differenzen.
x 0 1 2 3
y 2 3 6 11
von 2 zur 3 u. von 3 zur 6 (erste Differenz"ebene)
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u. jetzt sind wir doch schon bei der zweiten Differenzebene
Aber wahrscheinl. meinst du dann bei kubischen Fkt. die dritte Differenzebene.
Sehr interessant, diese Zusammenhänge. Wirklich spannend.
Ich danke allen für die Beiträge!!!
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