Exponentielles Wachstum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beim Mischen von Orangensaft mit Mineralwasser entsteht schaum, der zerfällt.
Messung der Schaumhöhe:
t in Minuten 1 2 3
Höhe B(t) in cm 4,8 3,6 2,7
Ein leeres Glas wird mit Saft und Mineralwasser gefüllt. Dabei sinkt einerseits die Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%, andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum der Höhe 20cm. Berechne nach wie vielen Minuten sich die Schaumhöhe im Glas ertmals pro Minute nur noch um weniger als 10cm ändert.
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Hallo liebes Forum,
also mit solchen Aufgaben bei denen was wegfällt und wieder was neues dazukommt habe ich immer schwierigkeiten. Ich weis nicht wie sone Wachstumsgleichung dann aussehen muss. Mir ist klar das es etwas in der Form
[mm] B(t)=B(0)*q^{t} [/mm] sein muss wobei q dann wahrscheinlich 0,4 wäre. Ich könnte mir auch vorstellen, dass man die Gleichung später nach t auflösen muss. Aber hier fehlt ja nun der entscheidende Teil mit den 20 bzw. den 10 cm.
Könnt Ihr mir bitte erklären, wie man das hier lösen muss.
Viele Grüsse und vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mo 30.04.2007 | | Autor: | habanero |
Hallo,
Bist du dir sicher, dass die Fragestellung für Klasse 10 gedacht ist?
Will man den Zerfall des Schaumes und die Schaumneubildung in die Rechnung einbeziehen kommt man auf eine Differentialgleichung mit dem Ergebnis
[mm]B(t)=50-67.43e^{-0.4t}[/mm]
für diese Aufgabenstellung. Sicherlich siehst du, dass die vorgegebenen Werte nicht mit der Aufgabenstellung übereinstimmen können.
Passende Werte sind
t in Minuten 1 2 3 4 [mm]\infty[/mm]
Höhe B(t) in cm 4,8 19,7 29.69 36.39 50.0
Wenn du jetzt den Anstieg der Funktion über die Ableitung bestimmst , erhälst du eine Zeit [mm]t=2.48\min[/mm], zu der die Veränderung der Schaumhöhe zum ersten Mal kleiner als 10cm ist.
> also mit solchen Aufgaben bei denen was wegfällt und wieder
> was neues dazukommt habe ich immer schwierigkeiten. Ich
> weis nicht wie sone Wachstumsgleichung dann aussehen muss.
> Mir ist klar das es etwas in der Form
>
> [mm]B(t)=B(0)*q^{t}[/mm] sein muss wobei q dann wahrscheinlich 0,4
> wäre. Ich könnte mir auch vorstellen, dass man die
> Gleichung später nach t auflösen muss. Aber hier fehlt ja
> nun der entscheidende Teil mit den 20 bzw. den 10 cm.
Die Messwerte stimmen tatsächlich mit einer geometrischen Reihe überein, so dass dein Ansatz richtig ist.
[mm]q=\bruch{B(t+1)}{B(t)}=\bruch{3}{4}[/mm]
Jetzt müsstest du die Ableitung [mm]\bruch{dB}{dt}[/mm] bilden und über [mm]\Delta B=\bruch{dB}{dt}\Delta t=1.0[/mm] (wohlgemerkt führt hier nur eine Änderung von 1.0cm zu sinnvollen Ergebnissen von [mm]t=2.12\min[/mm]
Jetzt kannst du die Veränderung einfach über [mm]\Delta h\approx B(t)-B(t-1)=1.0[/mm] ermitteln. Dann erhälst du eine Lösung für [mm]t[/mm] die ungefähr bei den beiden anderen liegt.
Viel Spaß noch damit ...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:52 Mo 30.04.2007 | | Autor: | MatheSckell |
| Aufgabe | Beim Mischen von Orangensaft mit Mineralwasser entsteht schaum, der zerfällt.
Messung der Schaumhöhe:
t in Minuten 1 2 3
Höhe B(t) in cm 4,8 3,6 2,7
a) Bestätige anhand der Tabellenwerte die Vermutung, dass die Schaumhöhe exponentiell abnimmt. Berechne mit dem aus den Tabellenwerten gewonnenen Zerfallsgesetz die Schaumhöhe sieben Minuten nach dem Eingießen.
b) Ein leeres Glas wird mit Saft und Mineralwasser gefüllt. Dabei sinkt einerseits die Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%, andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum der Höhe 20cm. Berechne nach wie vielen Minuten sich die Schaumhöhe im Glas ertmals pro Minute nur noch um weniger als 10cm ändert. |
Hallo und vielen Dank,
leider kann ich damit noch nicht viel Anfangen. Da ich den ersten Teil der Aufgabe ohne Probleme hinbekommen habe und ich auch nicht dachte, dass es da einen großen Zusammenhang zur Teilaufgabe b gibt habe ich die erste leider beim ersten posting nicht hineingeschrieben. Vielleicht kann ja jemand dann etwas mehr damit anfangen.
Also das Wachstumsgesetz für a ist:
[mm] B(t)=B(0)*0,75^{t} [/mm]
Damit beträgt die Schaumhöhe nach 7 Minuten 0,85 cm.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 30.04.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Wie groß ist denn die Anfangshöhe?
Ich habe das mal mit 1000 ausprobiert dann kam raus: 620 / 392 / 255 / 173 / 123 / 94 / 76 / 65 / 59
Bei 100 ist die Reihe wesentlich kürzer: 80 / 68 / 60
Also scheint noch eine Angabe zu fehlen, um ein eindeutiges Ergebnis zu erzielen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheSckell!
Bei Aufgabe a.) solltest Du aber auch noch den Wert $B(0)_$ in der Funktionsgleichung mit angeben. Deinen Wert für $B(7)_$ habe ich auch erhalten.
Bei Aufgabe b.) musst Du ähnlich vorgehen. Nur dass hier die Basis der Exponentialfunktion anders lautet:
$q \ = \ [mm] 1-40\% [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{40}{100} [/mm] \ = \ 0.60$
Dazu kommt aber nun auch wieder der Schaumzuwachst von 20cm je Minute. Addiert man diese beiden Komponenten (Zerfall und Zuwachs), erhält man:
$B(t) \ = \ [mm] B_0*0.60^t+20*t$
[/mm]
Um nun die Änderung der Schaumbildung zu berechnen, musst du hiervon die Ableitung bilden und gleich $10_$ setzen.
Hast Du denn keinen Anfangswert [mm] $B_0$ [/mm] gegeben oder einen anderen Wert?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Mo 30.04.2007 | | Autor: | habanero |
Lieber Loddar,
Die Crux an der ganzen Geschichte ist, dass der Zerfall des Schaumes logischerweise auch bei dem neugebildeten Schaum einsetzt.
Somit dürfte das Modell [mm]B(t) \ = \ B_0*0.60^t+20*t[/mm] unbefriedigende Ergebnisse liefern.
Zum anderen ist der Ausgangswert explizit angegeben.
< Ein LEERES Glas wird mit Saft und Mineralwasser gefüllt.
Somit [mm]B_0=0[/mm]
Mit der Lösung der Differentialgleichung aus meiner ersten Antwort kommt man mit den jetzt modifizierten Anfangsbedingungen auf
[mm]B(t)=50(1-e^{-0.4t})[/mm]
und mit Bildung der Ableitung, wie von dir richtig angemerkt, auf die Lösung
[mm]t_1=1.73\min[/mm].
Allerdings bin ich mir auch bewusst, dass dies nicht im Sinne des Aufgabenstellers gewesen sein kann. Deshalb schalge ich vor die Sache rekursiv zu lösen.
Folgender Zusammenhang stellt sich dar.
[mm]B(t)=0.6B(t-1)+20[/mm] mit [mm]B_0=0[/mm]
Wenn du nun die Werte für die ersten 10 Minuten berechnest und jeweils die Differenz [mm]\Delta B=B(t+1)-B(t)[/mm] wirst du zum einen erkennen, dass die Werte gegen [mm]50[/mm] streben und dass die Bedingung des Schaumzuwachses zwischen [mm]1
Zur Berechnung
[mm]\Delta B=B(t+1)-B(t)=0.6B(t)+20-B(t)!=10[/mm]
Du erhälst ein [mm]B(t)=25[/mm]. Dieser Wert liegt wie schon bekannt im Intervall [mm]1
[mm]t_1\approx 1.42[/mm].
Zusammenfassend kann man sagen, dass diese Aufgabe meiner Meinung nach nicht in Klasse 10 zu lösen ist, aber eine Näherung auf rekursivem Wege zufriedenstellen kann.
Beste Grüße
habanero
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Mo 30.04.2007 | | Autor: | rabilein1 |
< Zum anderen ist der Ausgangswert explizit angegeben.
<< Ein LEERES Glas wird mit Saft und Mineralwasser gefüllt.
Es aber nichts darüber gesagt, wie hoch das Glas gefüllt wird.
Wenn man aus einem leeren Glas 40 % entnimmt, dann ist es immer noch leer. Oder will man es am Anfang 20 cm hoch füllen und dann wieder 40 % rausnehmen? Die Aufgabe ist m.E. von der Formulierung her unklar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Di 01.05.2007 | | Autor: | habanero |
> Es aber nichts darüber gesagt, wie hoch das Glas gefüllt
> wird.
Es geht nur um die Schaumhöhe und für diese stellt sich ein Endwert von
[mm]\limes_{t\rightarrow\infty}B(t)=50[/mm] ein. (denn [mm]50\* 0.6+20=50[/mm])
> Wenn man aus einem leeren Glas 40 % entnimmt, dann ist es
> immer noch leer. Oder will man es am Anfang 20 cm hoch
> füllen und dann wieder 40 % rausnehmen? Die Aufgabe ist
> m.E. von der Formulierung her unklar.
Der Vorgang ist stetig und somit nur mit Infinitesimalrechnung lösbar, also mit unendlich kleinen Zeitschritten. Oder man verkleinert die Zeitschritte von jetzt [mm]\Delta t=1\min[/mm] auf vielleicht [mm]\Delta t=0.1\min[/mm]. Dann steigt der Schaum um 2cm pro Schritt und sinkt um 4% . Das sollte der exakten Lösung relativ nahe kommen.
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Hallo,
vielen Dank für euer Bemühen. Leider verstehe ich davon nicht viel, weil wir das alles noch nicht gemacht haben.
Es heißt doch, dass der Schuam jede Minute um 40 % sinkt und 20 cm dazukommen. Was wäre dann wenn man schreiben würe:
B(t+1)=0,6*B(t)+20
Jetzt weis ich nicht ob das richtig ist:
B(t)=0
B(t+1)=0,6*0+20=20
20=0,6*B(t)+20
B(t)=13,3
B(t+1)0,6*13,3+20
oder was ich eher glaube das richtig ist:
der Bestand am Anfang is ja 0. Damit müsste ich ja dann für B(t) nur 0 einsetzen und dann rechnen:
1. Minute: B(t+1)=0,6*0+20 = 20
2. Minute: B(t+1)=0,6*20+20=32
3. Minute: 39,2
Die Frage nach wie vielen Minuten sich die Schuamhöhe nur noch um weniger als 10cm ändert, kann ich dann aus einer Tabelle ablesen und muss ich nicht berechnen. Man sieht ja nun, dass nach 3 Minuten die Höhe um weniger als 10cm ansteigt.
Viele Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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