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| Aufgabe | Modellieren Sie die Daten durch exponentielles Wachstum. Bestimmen Sie die Verdopplungs- bzw Halbwertszeit, wenn n in Jahren gemessen wird. Verfahren Sie mithilfe der
a) Quotienten B(n)/B(n-1) |
Hallo!
Ich war letzte Mathestunde krank als das neue Thema (s.o.) angefangen wurde. Nun weiß ich nicht wie ich an die Aufgabe dran gehen soll. Ich hoffe, dass Ihr mir helfen könnt sodass ich die Hausaufgabe machen kann.
n=0 ; B(n)=28
n=1 ; B(n)=35
...
Fange ich mal von vorne an.
In den Nenner setzte ich die 28 ein.
Aber was Mache ich mit dem Zähler? Wie Setze ich das da ein?
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> Modellieren Sie die Daten durch exponentielles Wachstum.
> Bestimmen Sie die Verdopplungs- bzw Halbwertszeit, wenn n
> in Jahren gemessen wird. Verfahren Sie mithilfe der
> a) Quotienten B(n)/B(n-1)
> n=0 ; B(n)=28
> n=1 ; B(n)=35
> ...
>
> Fange ich mal von vorne an.
> In den Nenner setzte ich die 28 ein.
> Aber was Mache ich mit dem Zähler? Wie Setze ich das da
> ein?
Guten Abend YosiiGreen,
"exponentielles Wachstum" (oder zunächst mal
Wachstum nach einer geometrischen Folge) ergibt
sich, wenn der Wert q des Quotienten B(n)/B(n-1)
konstant ist, also unabhängig vom Wert von n.
Es sollte also gelten:
q = B(1)/B(0) = B(2)/B(1) = B(3)/B(2) = B(4)/B(3) = .....
Aus den gegebenen Werten B(0)=28 und B(1)=35
kannst du den Wert von q berechnen und dann
schrittweise auch B(2), B(3), ..... B(n) für
beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] . Eine Verallgemeinerung zur
eigentlichen "exponentiellen Wachstumsfunktion"
ergibt sich dann, wenn man auf die etwas einschrän-
kende Bedingung verzichtet, dass n ganzzahlig sein soll.
LG, Al-Chw.
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Okay, das das konstant sein soll habe ich verstanden :) vielen dank :)
Aber ich versteh das leider immernoch nicht wie ich diesen Mittelwert rausfinde. Ich glaube das liegt vor allem daran was ich damit machen soll:
B(n-1)
Es ist ja nicht das gleiche wie: B(n)-1
Das habe ich schon mit den Werten ausprobiert, aber das kommt nicht hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] \bruch{B(n+1)}{B(n)}=q [/mm] für alle n,
also B(n+1)=qB(n), oder [mm] B(n)=B(0)*q^n [/mm] für alle n
Du mußt also q bestimmen: [mm] \bruch{B(1)}{B(0)}=q
[/mm]
Für die Verdopplungzeit: bestimme n so, dass B(n)=2B(0), bestimme also n so, dass
[mm] B(0)*q^n=2B(0).
[/mm]
FRED
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> Okay, das das konstant sein soll habe ich verstanden :)
> vielen dank :)
> Aber ich versteh das leider immernoch nicht wie ich diesen
> Mittelwert rausfinde. Ich glaube das liegt vor allem daran
> was ich damit machen soll:
> B(n-1)
>
> Es ist ja nicht das gleiche wie: B(n)-1
> Das habe ich schon mit den Werten ausprobiert, aber das
> kommt nicht hin.
Aha. Vielleicht ist dir einfach die Schreibweise B(n)
noch nicht ganz klar.
n steht für die von einem gewählten festen Zeitpunkt
aus verstrichene Zeit (hier in Jahren gerechnet), und
B(n) gibt den Bestand der beobachteten wachsenden
Größe zum Zeitpunkt n (also n Jahre nach dem ge-
wählten Zeit-Fixpunkt) an.
B(n-1) steht für den Bestand zum Zeitpunkt (n-1)
Jahre - also ein Jahr vor dem Zeitpunkt n Jahre.
In deinem Beispiel sind B(0)=28 und B(1)=35 gegeben,
d.h. innert des ersten Jahres ist die Größe B vom
Anfangswert B(0)=28 auf den Wert B(1)=35 ange-
stiegen. Der "Wachstumsfaktor" q , der das Wachstum
innert eines Jahres beschreibt, ist also
$\ q\ =\ [mm] \frac{B(1)}{B(0)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{35}{28}\ [/mm] =\ [mm] \frac{5}{4}\ [/mm] =\ 1.25$
Falls nun die Wachstumsrate im nächsten Jahr, also
von n=1 bis n=2 , gleich groß ist, erhält man B(2),
indem man B(1) wieder mit q multipliziert, also
$\ B(2)\ =\ B(1)*q\ =\ 35*1.25\ =\ 43.75$
Der gebrochene Wert 43.75 macht natürlich nur dann
wirklich Sinn, wenn die Größe B in unterteilbaren
Einheiten gemessen wird. Stünde B aber etwa für
die Anzahl Mitglieder einer Gruppe von Menschen,
könnte man die Angabe 43.75 nur als Näherungswert
verstehen, in ähnlichem Sinn wie etwa die statistische
Aussage, dass in einem Land eine Frau durchschnittlich
1.63 Kinder zur Welt bringe ...
Bleibt die Wachstumsrate auch für folgende Jahre
gleich, so kann man nach diesem Muster weiterrechnen
und dann auch eine einfache Formel zur Berechnung
von B(n) angeben:
$\ [mm] B(n)=B(0)*q^n$ [/mm]
denn das fortgesetzte Multiplizieren mit dem immer
gleichen Faktor q lässt sich durch die Potenzschreib-
weise abgekürzt notieren.
Alles klar ?
LG
Al-Chwarizmi
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