Extrema < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also ich muss die Extrema einer Funktion f bestimmen. Das ist ja super leicht allerdings habe ich Probleme damit die erste und die zweite Ableitung zufinden.
Meine Funktion lautet:
f(x)= [mm] \bruch{x}{2}- \bruch{1}{4}(x+2)ln(x+1)
[/mm]
Mir ist klar, dass die erste Ableitung von ln = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist, aber wie ist das mit ln(x+1). Abegesehen davon kommt bei mir so ein blöder Term raus wenn ich dann noch gleichzeitig die Produktregel anwenden muss.
Ich bitte um Hilfe!
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
keine Panik... 
Also als erstes haben wir ja ne Summe.. für die Ableitung gilt es jeden Summanden einzeln abzuleiten...
also [mm] f'(x)=(\bruch{x}{2})'-(\bruch{1}{4}(x+2)ln(x+1))' [/mm]
[mm] \gdw f'(x)=\bruch{1}{2}-(\bruch{1}{4}(x+2)ln(x+1))' [/mm] ... so jetzt haben wir ja nen Produkt als 2. Summanden [mm] \Rightarrow [/mm] Produktregel...
[mm] \gdw f'(x)=\bruch{1}{2}-(\bruch{1}{4}(x+2))'ln(x+1)+\bruch{1}{4}(x+2)(ln(x+1))'
[/mm]
[mm] \gdw f'(x)=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}*1*ln(x+1)+\bruch{1}{4}(x+2)(ln(x+1))' [/mm] ...ln hat ne innere Fkt. [mm] \Rightarrow [/mm] Kettenregel (äußere * innere Ableitung, äuß. Fkt=ln inn. Fkt=x+1)
[mm] \gdw f'(x)=\bruch{1}{2}-\bruch{ln(x+1)}{4}+\bruch{1}{4}(x+2)*\bruch{1}{x+1}*1 [/mm] ... jetzt nur noch zusammenfassen
[mm] \gdw f'(x)=\bruch{3x+4-ln(x+1)(x+1)}{4x+4}
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Super Andreas danke! Ich war ungefähr bis zur Hälfte gekommen...
So und bei der 2. Ableitung jetzt Quotientenregel benutzen nicht wahr?
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Hallo nochmal,
für die Berechnung der 2ten Ableitung würde ich dir die folgende Darstellung der 1.Ableitung empfehlen:
[mm] f'(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+1}-ln(x+1)\right)
[/mm]
Das lässt sich relativ problemlos mit der Summenregel angehen, der Ausdruck in der Klammer vereinfacht sich sehr beim Ableiten (dabei [mm] \frac{x}{x+1} [/mm] mit der Quotientenregel bearbeiten).
Give it a try 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Oh man also jetzt setze ich für Minima bzw. Maxima die erste Ableitung gleich 0 und komme dann auf:
-ln(x+1)(x+1)=x
Mein Problem ist nun wie kriege ich das weiter hin oder ist das bis dahin schon falsch?
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Hallo Engel,
bei eurer 1.Ableitung hat sich ein VZF eingeschlichen bei der Anwendung der Produktregel.
Schau das nochmal nach,
für f'(x) sollte rauskommen: [mm] f'(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+1}-ln(x+1)\right)
[/mm]
oder noch weiter zusammengefasst [mm] =\frac{1}{4(x+1)}(x-ln(x+1)(x+1))
[/mm]
Hier kann man "sehen", dass x=0 eine Nullstelle ist.
Gruß
schachuzipus
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Hast Recht da hat sich echt ein Fehler eingeschlichen, hab ihn aber gefunden... also dann muss ich jetzt für Maxima und Minima meine Ableitung gleich null setzen.
Da kommt bei mir aber nur müll raus. Kann es sein dass die Funktion keine Extrema hat?
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Hi,
tjaaa, wie sieht denn die 2te Ableitung aus?
Nullstelle der ersten Ableitung bei x=0 ist richtig
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Ich glaube die zweite Ableitung ist einfach Null und daher gibt es kein Minima und kein Maxima.
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Nein, die zweite Ableitung ist an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] gleich 0, aber keineswegs überall.
Aber da [mm] x_0=0 [/mm] unser Kandidat für eine Extremstelle war, hast du Recht, es gibt keine Extrema
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
hehe genau das wollte ich damit sagen Hab mich nur falsch ausgedrückt. ok aber trotzdem brauche ich noch die 2.Ableitung.... ich krieg die einfach nicht raus.
Es ist ja nicht nur die Summandenregel nötig oder?
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okok
also:
[mm] f'(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+1}-ln(x+1)\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f''(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{1\cdot{}(x+1)-x\cdot{}1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-(x+1)}{(x+1)^2}\right)
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{4}\cdot{}\frac{x}{(x+1)^2}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Sa 14.04.2007 | | Autor: | chrisno |
> Nein, die zweite Ableitung ist an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] gleich
> 0, aber keineswegs überall.
>
> Aber da [mm]x_0=0[/mm] unser Kandidat für eine Extremstelle war,
> hast du Recht, es gibt keine Extrema
Ich hab nichts nachgerechnet, aber die Argumentation stimmt so nicht. Wenn die zweite Ableitung beim Kadidaten für ein Extremum Null ist, dann weiß man noch nichts. Also muß ein anderes Kriterium ran, zu Beispiel Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.
[mm] x^6 [/mm] hat doch offensichtlich ein Minimum bei x=0, aber f''(0) =0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 So 15.04.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
wenn neben [mm] f'(x_{0}) [/mm] auch [mm] f''(x_{0}) [/mm] verschwindet, dann entscheidet die nächstfolgende, nichtverschwindende Ableitung über Existenz und Art eines Extremwertes.
Wenn [mm] f^{(n)}(x_{0}) \not= [/mm] 0 , dann handelt es sich um einen Extremwert, wenn n = gerade, für
[mm] f^{(n)}(x_{0}) [/mm] < 0 : Maximum
[mm] f^{(n)}(x_{0}) [/mm] > 0 : Minimum
,um einen Sattelpunkt wenn n = ungerade.
Da hier [mm] f'''(x_{0}) [/mm] = - 1/4 [mm] \not= [/mm] 0 und n = 3, müsste es sich um einen Sattelpunkt handeln.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 16.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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