Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] z(x,y)=x²+4x+axy+\bruch{9}{4}y²+2ay [/mm] |
Von der Aufgabe soll ich erstmal die Extrema bestimmen. Ich habe erstmal nach x und y abgeleitet:
$z'_{x}=2x+4+ay$
[mm] $z'_{y}=ax+\bruch{18}{4}y+2a$
[/mm]
dann abe ich die beiden Funktionen addiert und habe [mm] 0=a-\bruch{36}{4a}
[/mm]
=>a=9a
aber da kann doch was nicht stimmen,oder?
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> [mm]z=x²+4x+axy+\bruch{9}{4}x²+2ay[/mm]
Hallo,
ich nehme an, daß die Funktion [mm] z=x²+4x+axy+\bruch{9}{4}y²+2ay [/mm] heißen soll.
Dann passen deine partiellen Ableitungen
> Von der Aufgabe soll ich erstmal die Extrema bestimmen.
> Ich habe erstmal nach x und y abgeleitet:
> z´_{x}=2x+4+ay
> [mm]z´_{y}=ax+\bruch{18}{4}y+2a[/mm]
>
> dann abe ich die beiden Funktionen addiert
Was meinst Du damit?
Wenn Du die partiellen Ableitungen hast, mußt Du diese =0 setzen und das entstehende GS lösen.
Das liefert Dir dann die Punkte, an denen es Extrema geben könnte.
Beim Lösen dieses GS kann es sein, daß Fallunterscheidungen je nach a notwendig sind.
Gruß v. Angela
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genau das habe ich versucht:
ich habe [mm] z_{y} [/mm] mit [mm] -\bruch{2}{a} [/mm] multipliziert und dann die beiden Gleichungen addiert. [mm] 0=a-\bruch{36}{4a} [/mm] kam raus? Das ist doch falsch, oder?
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> genau das habe ich versucht:
> ich habe [mm]z_{y}[/mm] mit [mm]-\bruch{2}{a}[/mm] multipliziert
Hallo,
das ist im Prinzip in Ordnung, Du kannst das jedoch nur machen für [mm] a\not=0.
[/mm]
Dieses Problem kannst Du lösen wie folgt:
Du behandelst zuerst den Fall [mm] a\not=0 [/mm] und ziehst dies bis zum Ende durch.
Anschließend dann folgt der Fall, in welchem Du die Sache für a=0 untersuchst.
und dann
> die beiden Gleichungen addiert. [mm]0=a-\bruch{36}{4a}[/mm] kam
> raus? Das ist doch falsch, oder?
Ja, aber es hat einen sehr wahren Kern.
Wenn ich tue, was Du getan hast, erhalte ich [mm] 0=(a-\bruch{9}{a})y. [/mm] (Beachte: [mm] \bruch{36}{4a}=\bruch{9}{a}).
[/mm]
<==> [mm] 0=(a^2-9)y.
[/mm]
Diese Gleichung ist nach y aufzulösen, damit kennst Du dann die zweite Komponente des kritischen Punktes. Das dazu passende x ermittelst Du dann durch Einsetzen in eine der beiden Gleichungen.
Beachte, daß Du hier eine weitere Fallunterscheidung vornehmen mußt.
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Ich weiß ja nicht, was Du so alles kannst, Du könntest das (lineare!) GS mit den Variablen auch so unter Kontrolle bekommen:
stell für das GS die erweiterte Koeffizientenmatrix auf, bring sie in Zeilenstufenform.
Nun kannst Du den Rang je nach a untersuchn.
Gruß v. Angela
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Ich verstehe irgendwie nur Bahnhof. Wenn ich die Gleichung umstelle bekomme ich y=0.
=> 0=2a+ax => x=-2
0=2x+4 => x=-2
Und was mache ich mit dem Punkt?
Vllt sollte ich zur erklärung nochmal die genaue Fragestellung posten:
Für welche a [mm] \in \IR [/mm] hat die Funktion [mm] z=x²+4x+axy+\bruch{9}{4}y²+2ay [/mm] eine Extremstelle? Zeigen Die, dass für diese Zahl a die Stelle und der extremale Wert unabhängig von a sind.
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> Ich verstehe irgendwie nur Bahnhof. Wenn ich die Gleichung
> umstelle bekomme ich y=0.
> => 0=2a+ax => x=-2
> 0=2x+4 => x=-2
Hallo,
wir hatten eben:
Fall 1: [mm] a\not=0
[/mm]
0=2x+4+ay
[mm] 0=(a-\bruch{9}{a})y
[/mm]
Für [mm] a\not=\pm3 [/mm] folgt y=0 und x=-2
> Und was mache ich mit dem Punkt?
Du weißt, daß für [mm] a\not=0,\pm [/mm] 3 an dieser Stelle ein Extremwert vorliegen kann.
Für die weitere Untersuchung würde man nun die Hessematrix aufstellen. (Definitheit.)
Du mußt anschließend noch die Fälle [mm] a=0,\pm [/mm] 3 untersuchen.
Gruß v. Angela
>
> Vllt sollte ich zur erklärung nochmal die genaue
> Fragestellung posten:
>
> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] hat die Funktion
> [mm]z=x²+4x+axy+\bruch{9}{4}y²+2ay[/mm] eine Extremstelle? Zeigen
> Die, dass für diese Zahl a die Stelle und der extremale
> Wert unabhängig von a sind.
>
>
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[mm] D=\vmat{ \bruch{\delta ²f}{\delta x²} & \bruch{\delta ²f}{\delta x*\delta y} \\ \bruch{\delta ²f}{\delta x*\delta y} & \bruch{\delta ²f}{\delta y²}}
[/mm]
den Tipp hat mein Prof mir gegeben, was ich damit machen soll ist mir aber ein Rätsel. Um erlich zusein weiss ich nicht mal was die einzellterme bedeuten.
Muss ich in diese Determinate meine Werte(die ich noch nicht kenne) einsetzen?
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> [mm]D=\vmat{ \bruch{\delta ²f}{\delta x²} & \bruch{\delta ²f}{\delta x*\delta y} \\ \bruch{\delta ²f}{\delta x*\delta y} & \bruch{\delta ²f}{\delta y²}}[/mm]
>
> den Tipp hat mein Prof mir gegeben,
Hallo,
ich gab Dir den ja auch schon (Hessematrix):
> was ich damit machen
> soll ist mir aber ein Rätsel.
Anhand der Definitheit der Hessematrix hast Du oft die Möglichkeit herauszufinden, welche Art kritischen Punkt Du vorliegen hast.
> Um erlich zusein weiss ich
> nicht mal was die einzellterme bedeuten.
Das ist haarsträubend.
Es handelt sich bei der Hessematrix um die Matrix, die die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f enthält.
oben links: zweimal nach x abgleitet
oben rechts: nach x und dann nach y
unten links: nach y und dann nach x
unten rechts zweimal nach x
Wenn Du das hast, sind jeweils die berechneten kritischen Punkte einzusetzen, und anschließend die Definitiheit der Matrix zu prüfen.
Gruß v. Angela
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haarsträubend finde ich das auch. Hatten das aber nie. Und das sah für mich aus wie eine chinesische Schriftrolle.
Naja. Meine Weitere Rechnung ist wie folgt:
[mm] z_{xx}=2
[/mm]
[mm] z_{yx}=z_{xy}=a
[/mm]
[mm] z_{yy}=\bruch{9}{2}
[/mm]
=> [mm] D=\vmat{ 2 & a \\ a & 4,5 }=9-a²
[/mm]
So jetzt wird es mir leider wieder unklar. Wenn ich für [mm] a=\pm3 [/mm] einsetze kommt Null raus und das heißt keine Aussage möglich. Oder?
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> => [mm]D=\vmat{ 2 & a \\ a & 4,5 }=9-a²[/mm]
> So jetzt wird es mir
> leider wieder unklar. Wenn ich für [mm]a=\pm3[/mm] einsetze kommt
> Null raus und das heißt keine Aussage möglich. Oder?
Hallo,
Deine Hessematrix [mm] H_f(x,y)=\pmat{ 2 & a\\a & 4,5 } [/mm] ist richtig.
> Wenn ich für [mm]a=\pm3[/mm] einsetze kommt
> Null raus und das heißt keine Aussage möglich. Oder?
Ja. Fragt sich bloß: wofür ist keine Aussage möglich???
Bevor jetzt hier im Thread das komplette Chaos Einzug hält, und nicht zuletzt auch, weil Du solche Aufgaben vermutlich können mußt für irgendwelche Klausuren, nochmal der Ablauf für Funktionen in Abhängigkeit von zwei Variablen, deren eventuelle Extremwerte zu betimmen sind:
1, Die beiden partiellen Ableitungen bilden.
2. Die partiellen Ableitungen =0 setzen. Das ergibt ein Gleichungssystem.
3. Das Gleichungssystem aus 2. lösen. Man erhält die kritischen Punkte, die Punkte, an denen man Extremwerte haben kann.
4. Aufstellen der Hessematrix
5. Einsetzen der kritischen Punkte in die Hessematrix und anhand der Definitheit prüfen, ob und welche Extremwerte man hat.
Zur Definitheit der symmetrischen 2x2-Matrizen:
det der Hessematrix positiv und linker oberer Eintrag positiv: Minimum
det der Hessematrix positiv und linker oberer Eintrag negativ: Maximum
det der Hessematrix negativ: Sattelpunkt
det der Hessematrix =0: ohne weitere Untersuchungen keine Aussage möglich.
Das Problem bei Deiner Aufgabe ist, daß wir immer noch nicht die kritischen Punkte in ihrer Gesamtheit vorliegen haben.
Man mußte da ja je nach a Fallunterscheidungen machen, wenn ich mich recht entsinne, und bisher haben wir den kritischen Punkt erst für [mm] a\not= [/mm] 0, [mm] \pm3,
[/mm]
nämlich [mm] (x_k, y_k)=(-2,0). [/mm] Die Fälle a=, [mm] \pm3 [/mm] mußt Du später noch untersuchen, wenn Du die Aufgabe vollständig lösen möchtest.
Wir betrachten also den Fall [mm] a\not=0, \pm3:
[/mm]
Es ist
[mm] H_f(-2,0)=\pmat{ 2 & a\\a & 4,5 }.
[/mm]
Wir prüfen die Definitheit:
Es ist [mm] det(\pmat{ 2 & a\\a & 4,5 })= 9-a^2.
[/mm]
Du mußt nun eine Fallunterscheidung für |a|>3 und |a|<3 durchführen.
Gruß v. Angela
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Ich kann mich nur 1000X entschuldigen. Aber ich kann es nicht besser. Sorry.
ich habe jetzt(hoffentlich richtig):
|a|>3 Det.=negativ -> sattelpunkt
0<a<3 Minimum
-3<a<0 Maximum
richtig?
Und was mache ich mit [mm] a=\pm3 [/mm] ?
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> Ich kann mich nur 1000X entschuldigen. Aber ich kann es
> nicht besser. Sorry.
Hallo,
Du mußt Dich nicht entschuldigen, mir ist das klar, daß Du das nicht machst, um Deine mitmenschen zu verwirren.
Ich weiß wie schwer es ist, den Überblick zu behalten, wenn die Sachen so neu und verwirrend sind.
Dafür habe ich Dir den Plan gemacht.
Er dient u.a. dazu, daß Du Dich bei den nächsten Extremwertaufgaben daran entlanghangeln kannst.
> ich habe jetzt(hoffentlich richtig):
> |a|>3 Det.=negativ -> sattelpunkt
Genau.
> 0<a<3 Minimum
> -3<a<0 Maximum
Nein. Für -3<a<3 ist [mm] 0
also [mm] 9-a^2>0.
[/mm]
Die 2 ist in allen Fällen positiv,
also haben wir ein Minimum in diesen Fällen.
> richtig?
Es war nahezu richtig. Kleiner Rechenfehler, aber kein echter Verständnisfehler.
> Und was mache ich mit [mm]a=0, \pm3[/mm] ?
Dafür hatten wir die kritischen Punkte ja noch nicht ausgerechnet.
A. a=0
Das zu lösende GS ist
0=2x+4
[mm] 0=\bruch{18}{4}y
[/mm]
==> x=-2 und y=0, also derselbe kritische Punkt wie zuvor.
Die Hessematrix ist $ [mm] H_f(-2,0)=\pmat{ 2 & 0\\0 & 4,5 } [/mm] $ ist richtig, ihre Det ist =9, und weil 2>0, haben wir auch in diesem Fall ein Minimum.
Du hat also insgesamt für [mm] a\not=\pm [/mm] 3 herausgefunden, daß die Funktion ein Minimum in dem v. a unabhängigen Punkt (-2,0) hat.
B. a=3
Das zu lösende GS ist
0=2x+4+3y
[mm] 0=3x+\bruch{18}{4}y+6
[/mm]
==> samtliche Punkte auf der Geraden [mm] y=\bruch{-2}{3}x-\bruch{4}{3}, [/mm] also alle Punkte der Gestalt [mm] (x_k, y_k)=( \lambda,\bruch{-4-2\lambda}{3} [/mm] ), lösen das System.
Es handelt ich hier nicht um isolierte Punkte, sondern um solche, die entlang einer Geraden liegen, und ich bin mir nicht sicher, ob Ihr diese in die Betrachtung einbeziehen sollt.
Keinesfalls kannst Du Aussagen mit der Hessematrix treffen, denn Du hattest in einem anderen Post ja schon festgestellt, daß diese =0 ist.
Um Näheres zu erfahren müßte man noch andere Untersucheungen anstellen, ich bin mir nicht sicher, ob Ihr das sollt.
C. a=-3
ergibt ein ähnliches Ergebnis wie bei B.
Gruß v. Angela
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