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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema
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Extrema: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:27 So 06.01.2008
Autor: torstenkrause

Aufgabe
Es sei z=f(x,x)=x³+y³-3(y-1)(x+y)
a)Bestimmen Sie die Gleichung der tangentialebene im Punkt [mm] (x_{0},y_{0})=(0,0) [/mm]
b)Betsimmen Sie alle Extremstellen und alle Sattelpunkte der Funktion.

Zu a) kann ich noch nicht, mache ich mir morgen gedanken drüber.Jetzt geht es mir erstmal um teil b.

Zu b) ich habe abgeleitet
[mm] z_{x}=3x²-3y+3 [/mm]
[mm] z_{y}=3y²-6y-3x+3 [/mm]
[mm] z_{xx}=6x [/mm]
[mm] z_{xy}=z{yx}=-3 [/mm]
[mm] z_{yy}=6y-6 [/mm]

soweit so gut. Hoffe ich.
Jetzt fangen meine Probleme an:
ich setzedie beiden ersten ableitungen 0 und versuche das Gls zu lösen:
0=3x²-3y+3
0=3y²-6y--3x+3
Das kann ich irgendwie nicht lösen. Habe die einfach mal addiert. Kommt aber auch nichts brauchbares raus:
0=x²-x+y²-2y+2
Kann mir jemand weiterhelfe?Sind meine Ableitungen richtig? Vielen Dank schon mal.

        
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Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 So 06.01.2008
Autor: torstenkrause

Mir ist gerade ein Lösungsweg eingefallen. Moment bitte,...

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Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 So 06.01.2008
Autor: torstenkrause

Ich konnte das doch lösen mit Hilfe vom einsetzungsverfahren.
drei extremwertverdächtige punkte habe ich raus:
x=0 y=1
x=1 y=0
x=1 Y=2
kann jemand meine bisherigen ergebnisse bestätigen?
Im fogenden werde ich die hessematrix aufstellen und dann mal weiterschauen. :-)

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Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 So 06.01.2008
Autor: angela.h.b.


> Ich konnte das doch lösen mit Hilfe vom
> einsetzungsverfahren.
>  drei extremwertverdächtige punkte habe ich raus:
>  x=0 y=1
>  x=1 y=0
>  x=1 Y=2
>  kann jemand meine bisherigen ergebnisse bestätigen?

Hallo,

Deine Ableitungen habe ich nicht nachgerechnet.

Die Lösung des GS hat auch bei mir x=0 oder x=1 ergeben,

ich habe ebenfalls (0,1) als kritischen punkt, allerdings sehen bei mir die y-Werte zu x=1 anders aus.
Ich nehme an, daß Du beim Einsetzen einen Vorzeichenfehler hast.

>  Im fogenden werde ich die hessematrix aufstellen und dann
> mal weiterschauen. :-)

Das wäre die richtige weitere Vorgehensweise.

Gruß v. Angela


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Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Mo 07.01.2008
Autor: torstenkrause

Ich habe nochmal nachgerechnet und komme wieder auf das gleiche Ergebniss. Vielleicht wieder der sebe fehler. Aber wenn ich einsetze bekomme ich:
-3y=-6 => y=2
y²-2y=0 =>y=0

vielleicht habe ich in die falsche gleichung eingesetzt, weil die gleichungen kann ja ein 5. Klässler lösen. Wo liegt mein Fehler?
Danke für eure hilfe

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Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mo 07.01.2008
Autor: leduart

Hallo
ich weiss nicht , wo deine zweite Gl. herkommt.
wenn du x=1 in [mm] z_x=0einsetzt [/mm] kommt y=2 raus und sicher nicht y=0 also ist [mm] z_x\ne0 [/mm] für x=1,y=0 also gibts diese Lösung nicht.
für x=1, y=2 ist auch [mm] z_y=0 [/mm]
es lohnt sich immer die ja einfachen Ergebnisse in den ursprünglichen Gleichungen nochmal nachzuprüfen.
Gruss leduart

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Extrema: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:39 Di 15.01.2008
Autor: torstenkrause

Habe nochmal rumgesucht und meinen Fehler entdeckt. Ich habe nur zwei Extremwertverdächtige Punkte (0;1) und (1;2)

Nach aufstellen der Hessematrix ergibt sich:
(0;1)=0-9 -> Sattelpunkt
(1;2)=36-9-> Extremum da [mm] z_{xx}>0 [/mm] -> Minimum

ist das richtig?
Habe ich verdächtige punkte vergessen? kann es ein minimum ohne dazugehöriges maximum geben?

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Extrema: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Do 17.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Extrema: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:15 Sa 19.01.2008
Autor: torstenkrause

So, ich habe mal die tangettialebene ausgerechnet:
[mm] z=f(x_{0},y_{0})+a(x-x_{0})+b(y-y{0})=ax+bx-20 [/mm]

Stimmt das so? Könnt ihr auch weiter oben nochmal kontrollieren?
Vielen Dank.

Bezug
                                                                        
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Extrema: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:17 Sa 19.01.2008
Autor: torstenkrause

Ich habe noch versucht a und b zu bestimmen.

[mm] a=\bruch{\delta f}{\delta x}= [/mm] 3
[mm] b=\bruch{\delta f}{\delta y}= [/mm] 3

Ist das richtig?

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Extrema: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mo 21.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Extrema: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Mo 21.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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