Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige, dass f: [mm] \IR \times [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit (x,y)-> [mm] y^x [/mm] kein lokales Extremum besitzt auf [mm] \IR \times [/mm] (0, [mm] \infty)! [/mm] |
Wie kann ich diese Funktion umformen, damit ich sie leichter bzw. besser ableiten kann?
|
|
| |
|
Hallo Alexandra,
so: [mm] y^x=\left(e^{\ln{y}}\right)^x=e^{x\ln{y}}
[/mm]
lg
reverend
|
|
|
| |
|
Bin nun dabei, die Extrema (die es nicht gibt) zu suchen.
1.Abl. nach x: [mm] e^{xln(y)} [/mm] * ln (y)
1. Abl. nach y: [mm] xe^{ln(y)}*\bruch{1}{y}
[/mm]
Nun zur 2. Ableitung:
Hier habe ich etwas Probleme...
2. Abl. nach x: Ich verwende die Produktenregel:
uv´+u´v mit u= [mm] e^{xln(y)}, [/mm] u`= ln (y) [mm] *e^{xln(y)}
[/mm]
v= ln (y) und v´= [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
Aber irgenwie stimmt das nicht mit der Musterlösung überein! Habe ich einen Fehler? Wer kann helfen?
DANKE
|
|
|
| |
|
Hiho,
Vorweg:
deine 1. Ableitung nach y ist falsch, die müsste heissen:
[mm] $xe^{xln(y)}\bruch{1}{y}$ [/mm]
Du hast ein x im Exponenten vergessen.
> Nun zur 2. Ableitung:
> Hier habe ich etwas Probleme...
>
> 2. Abl. nach x: Ich verwende die Produktenregel:
> uv´+u´v mit u= [mm]e^{xln(y)},[/mm] u'= ln (y) [mm]*e^{xln(y)}[/mm]
> v= ln (y) und v´= [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> Aber irgenwie stimmt das nicht mit der Musterlösung
> überein! Habe ich einen Fehler? Wer kann helfen?
> DANKE
Dir ist schon klar, dass die 2. Ableitung im Mehrdimensionalen der ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix entspricht und du diese Untersuchen musst?
D.h. du musst die partiellen Ableitungen von deinen beiden ersten Ableitungen bilden, also folgende Ableitungen:
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x} e^{xln(y)} [/mm] * ln (y) $
[mm] $\bruch{\partial}{\partial y} e^{xln(y)} [/mm] * ln (y) $
und
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x} xe^{xln(y)}\bruch{1}{y} [/mm] $
[mm] $\bruch{\partial}{\partial y} xe^{xln(y)}\bruch{1}{y} [/mm] $
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Hiho,
>
> Vorweg:
>
> deine 1. Ableitung nach y ist falsch, die müsste heissen:
>
> [mm]xe^{xln(y)}\bruch{1}{y}[/mm]
>
> Du hast ein x im Exponenten vergessen.
>
> > Nun zur 2. Ableitung:
> > Hier habe ich etwas Probleme...
> >
> > 2. Abl. nach x: Ich verwende die Produktenregel:
> > uv´+u´v mit u= [mm]e^{xln(y)},[/mm] u'= ln (y) [mm]*e^{xln(y)}[/mm]
> > v= ln (y) und v´= [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> > Aber irgenwie stimmt das nicht mit der Musterlösung
> > überein! Habe ich einen Fehler? Wer kann helfen?
> > DANKE
>
> Dir ist schon klar, dass die 2. Ableitung im
> Mehrdimensionalen der
> Hesse-Matrix
> entspricht und du diese Untersuchen musst?
>
> D.h. du musst die partiellen Ableitungen von deinen beiden
> ersten Ableitungen bilden, also folgende Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} e^{xln(y)} * ln (y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} e^{xln(y)} * ln (y)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} xe^{xln(y)}\bruch{1}{y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} xe^{xln(y)}\bruch{1}{y}[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Danke, jetzt habe ich den Fehler auch gesehen!
Ja, mir ist klar, dass ich die 2.part. Ableitung für die Hesse Matrix brauche.
Allerdings bereitet mir auch diese Probleme:
2.Abl. nach x: [mm] (lny)^2 *e^{lny}
[/mm]
2.Abl. nach y: u= [mm] xe^{lny} [/mm] u`= [mm] \bruch{x}{y}
[/mm]
v= [mm] \bruch{1}{y} [/mm] und [mm] v´=\bruch{-1}{y^2}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Berechne dann: u*v´+u´*v
[mm] xe^{lny}*\bruch{-1}{y^2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{y}* \bruch{1}{y} [/mm] ?
Ist das korrekt?
DANKE
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Danke, jetzt habe ich den Fehler auch gesehen!
> Ja, mir ist klar, dass ich die 2.part. Ableitung für die
> Hesse Matrix brauche.
> Allerdings bereitet mir auch diese Probleme:
> 2.Abl. nach x: [mm](lny)^2 *e^{lny}[/mm]
Hier fehlt wieder ein x im Exponent.
> 2.Abl. nach y: u=
> [mm]xe^{lny}[/mm] u'= [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
Wo ist das [mm] xe^{xlny} [/mm] geblieben? und hier fehlt immer noch das x im Exponent!
> v= [mm]\bruch{1}{y}[/mm] und [mm]v´=\bruch{-1}{y^2}[/mm]
Das stimmt.
Und wieder hast du nur EINE Ableitung gebildet, du musst aber JEDE Ableitung nochmal nach x UND y ableiten, du erhälst also nicht nur 2 2. Ableitungen sondern 4!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Hiho,
>
> > Danke, jetzt habe ich den Fehler auch gesehen!
> > Ja, mir ist klar, dass ich die 2.part. Ableitung für
> die
> > Hesse Matrix brauche.
> > Allerdings bereitet mir auch diese Probleme:
> > 2.Abl. nach x: [mm](lny)^2 *e^{lny}[/mm]
>
> Hier fehlt wieder ein x im Exponent.
>
> > 2.Abl. nach y: u=
> > [mm]xe^{lny}[/mm] u'= [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
> Wo ist das [mm]xe^{xlny}[/mm] geblieben? und hier fehlt immer noch
> das x im Exponent!
> > v= [mm]\bruch{1}{y}[/mm] und [mm]v´=\bruch{-1}{y^2}[/mm]
>
> Das stimmt.
>
> Und wieder hast du nur EINE Ableitung gebildet, du musst
> aber JEDE Ableitung nochmal nach x UND y ableiten, du
> erhälst also nicht nur 2 2. Ableitungen sondern 4!
>
Das weiß ich. Das habe ich auch gemacht. Ich brauche ja 4 Einträge in meiner Hesse Matrix. Diese lauten: nach x = nach y = [mm] e^{xlny}*\bruch{xln(y)+1}{y}
[/mm]
Passt das?
Als kritischen Punkt erhalte ich dann (0,1).
Eingesetzt in die Hesse Matrix komme ich auf einen Sattelpunkt und folglich keine Extremstelle!
> MFG,
> Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo pippilangstrumpf,
> > Hiho,
> >
> > > Danke, jetzt habe ich den Fehler auch gesehen!
> > > Ja, mir ist klar, dass ich die 2.part. Ableitung
> für
> > die
> > > Hesse Matrix brauche.
> > > Allerdings bereitet mir auch diese Probleme:
> > > 2.Abl. nach x: [mm](lny)^2 *e^{lny}[/mm]
> >
> > Hier fehlt wieder ein x im Exponent.
> >
> > > 2.Abl. nach y: u=
> > > [mm]xe^{lny}[/mm] u'= [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
> > Wo ist das [mm]xe^{xlny}[/mm] geblieben? und hier fehlt immer
> noch
> > das x im Exponent!
> > > v= [mm]\bruch{1}{y}[/mm] und [mm]v´=\bruch{-1}{y^2}[/mm]
> >
> > Das stimmt.
> >
> > Und wieder hast du nur EINE Ableitung gebildet, du musst
> > aber JEDE Ableitung nochmal nach x UND y ableiten, du
> > erhälst also nicht nur 2 2. Ableitungen sondern 4!
> >
> Das weiß ich. Das habe ich auch gemacht. Ich brauche ja 4
> Einträge in meiner Hesse Matrix. Diese lauten: nach x =
> nach y = [mm]e^{xlny}*\bruch{xln(y)+1}{y}[/mm]
> Passt das?
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als kritischen Punkt erhalte ich dann (0,1).
> Eingesetzt in die Hesse Matrix komme ich auf einen
> Sattelpunkt und folglich keine Extremstelle!
> > MFG,
> > Gono.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
