www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema
Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Di 15.03.2011
Autor: Lentio

Aufgabe
sei W=(x,y,z)| x>0, y>0  und
f:W--> R, (x,y,z)--> [mm] e^ysin^2x+z^2+cosy. [/mm]

Wo besitzt g kritieche Punkte, Extrema?

Hallo Leute!

Habe mit dieser Aufgabe große Probleme. Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Also ich habe bisher die partiellen Ableitungen gebildet:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=e^y2cosxsinx [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=e^ysin^2x-siny [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=2z [/mm]


[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=0 [/mm] gesetzt. Gilt für [mm] x_1=\bruch{k*\pi}{2}, [/mm] für k>0 u. ungerade, [mm] x_2= \pi*k, [/mm] k>0 u. gerade

[mm] x_2: [/mm]

[mm] 0=e^y*0-siny [/mm]
[mm] y=k*\pi [/mm]
kritischer punkt [mm] z_1=( k*\pi, k*\pi, [/mm] 0) für k>0, k gerade

[mm] x_1: [/mm]

[mm] (\pm e^y) [/mm] -siny=0

[mm] y_1: e^y=siny [/mm]
[mm] y_2: e^y=-siny [/mm]
Was leider nicht mehr weiter.


mfg,

Lentio

        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Di 15.03.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Lentio,

> sei [mm]W=\{(x,y,z)| x>0, y>0\}[/mm] und
> [mm]f:W\to \IR, (x,y,z)\mapsto e^ysin^2x+z^2+cosy.[/mm]
>
> Wo besitzt g kritieche Punkte, Extrema?
> Hallo Leute!
>
> Habe mit dieser Aufgabe große Probleme. Hoffentlich kann
> mir jemand helfen.
>
> Also ich habe bisher die partiellen Ableitungen gebildet:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=e^y2cosxsinx[/mm] [ok]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=e^ysin^2x-siny[/mm] [ok]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=2z[/mm] [ok]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=0[/mm] gesetzt. Gilt für
> [mm]x_1=\bruch{k*\pi}{2},[/mm] für k>0 u. ungerade,

Anders geschrieben [mm]x_1=\frac{(2l+1)\pi}{2}[/mm] mit [mm]l\in\IN_0[/mm]

> [mm]x_2= \pi*k,[/mm] k>0 u. gerade

Wieso nur gerade k für die Nullstellen des Sinus?

Das sollte m.E. doch [mm]x_2=k\cdot{}\pi[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm] sein, oder?

Ansonsten richtig!


>
> [mm]x_2:[/mm]
>
> [mm]0=e^y*0-siny[/mm]
> [mm]y=k*\pi[/mm]

Es ist besser, das "k" für y mal anders zu nennen, die k's für x und y können ja verschieden sein ...

> kritischer punkt [mm]z_1=( k*\pi, k*\pi,[/mm] 0) für k>0, k
> gerade

[mm]z_1=(k\pi, \ell\pi, 0)[/mm] mit [mm]k,\ell\in\IN[/mm]

>
> [mm]x_1:[/mm]
>
> [mm](\pm e^y)[/mm] -siny=0

Wieso die beiden Vorzeichen?

Es ist zwar [mm]\sin\left(\frac{2l+1}{2}\pi\right)=\pm 1[/mm], aber im Quadrat doch dann 1

Also [mm]e^y=\sin(y)[/mm]

Diese Gleichung hat für [mm]y>0[/mm] keine (reelle) Lösung!

Dazu kannst du dir zB. mal die Graphen der beiden anschauen, es gibt keine positiven Schnittpunkte.


>
> [mm]y_1: e^y=siny[/mm]
> [mm]y_2: e^y=-siny[/mm]
> Was leider nicht mehr
> weiter.
>
>
> mfg,
>
> Lentio

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Di 15.03.2011
Autor: Lentio

Vielen Dank für die Antwort!
Das mit [mm] sin^2 [/mm] hatte ich total übersehen :o.

Habe jetzt für die Untersuchung der Extrema die Hessenmatrix aufgestellt:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x \partial x}= e^y (-2sin^{2}x +cos^2 [/mm] x)
[mm] \bruch{\partial}{\partial x \partial y}= e^y [/mm] 2cosxsinx

[mm] \bruch{\partial}{\partial y \partial y}= e^y sin^{2}x-cosy [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y \partial x}= e^y [/mm] 2cosxsinx

im Punkt (k [mm] \pi [/mm] , [mm] l*\pi, [/mm] 0) also

[mm] Hess_{k \pi , l*\pi, 0} =\pmat{ e^{l\pi} & 0&0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0&0&2 } [/mm]

[mm] det(hess)=(e^{l\pi}-\lambda)(\pm 1-\lambda)(2-\lambda) [/mm]
ICh kann aber leider nicht sagen, ob die  Eigenwerte  positiv/negativ sind.


mfg,


Lentio

Bezug
                        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Di 15.03.2011
Autor: fred97


> Vielen Dank für die Antwort!
>  Das mit [mm]sin^2[/mm] hatte ich total übersehen :o.
>  
> Habe jetzt für die Untersuchung der Extrema die
> Hessenmatrix aufgestellt:
>  [mm]\bruch{\partial}{\partial x \partial x}= e^y (-2sin^{2}x +cos^2[/mm]
> x)
>  [mm]\bruch{\partial}{\partial x \partial y}= e^y[/mm] 2cosxsinx
>  
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y \partial y}= e^y sin^{2}x-cosy[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y \partial x}= e^y[/mm] 2cosxsinx
>  
> im Punkt (k [mm]\pi[/mm] , [mm]l*\pi,[/mm] 0) also
>  
> [mm]Hess_{k \pi , l*\pi, 0} =\pmat{ e^{l\pi} & 0&0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0&0&2 }[/mm]
>  
> [mm]det(hess)=(e^{l\pi}-\lambda)(\pm 1-\lambda)(2-\lambda)[/mm]
>  ICh
> kann aber leider nicht sagen, ob die  Eigenwerte  
> positiv/negativ sind.


>  

Es ist doch [mm] e^{l\pi}>0 [/mm] und 2>0 und [mm] $f_{yy}(k \pi,l \pi,0)= [/mm] -cos(l [mm] \pi)=(-1)^{l+1}$ [/mm]

Die Hessematrix hat also für gerades l sowohl pos. als auch neg. Eigenwerte.

Ist l ungerade, so hat die Hessematrix nur positive Eigenwerte.

FRED

>
> mfg,
>  
>
> Lentio


Bezug
                                
Bezug
Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Di 15.03.2011
Autor: Lentio

Hallo,


kann man also sagen, dass für pos. Einträge auf der Diagonalen die Eigenwerte immer pos. sind? Entsprechend Einträge negativ, dann EW negativ?


mfg

Bezug
                                        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Di 15.03.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Hallo,
>
>
> kann man also sagen, dass für pos. Einträge auf der
> Diagonalen die Eigenwerte immer pos. sind? Entsprechend
> Einträge negativ, dann EW negativ?

Ja, auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte doch!

Du hast doch hier eine Dreiecksmatrix.

Da stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen!

Einfach ablesen und die Fälle "ungerade, gerade" abklappern

>
>
> mfg

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Di 15.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Lentio,

> Hallo,
>  
>
> kann man also sagen, dass für pos. Einträge auf der
> Diagonalen die Eigenwerte immer pos. sind? Entsprechend
> Einträge negativ, dann EW negativ?
>  


Die Hessematrix lautet doch:

[mm]Hess_{k \pi , l\cdot{}\pi, 0} =\pmat{ \blue{2}*e^{l\pi} & 0&0 \\ 0 &\left(-1\right)^{l+1} & 0 \\ 0&0&2 } $[/mm]


Das ändert aber nichts ander Tatssche, daß es für l ungerade
nur positive, und für l gerade sowohl positive als auch negative
Eigenwerte gibt.


>
> mfg


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Di 15.03.2011
Autor: Lentio

Wieso denn das ?

Der Wert in [mm] a_{1,1} [/mm] ergibt sich doch aus der partiellen Ableitung [mm] \bruch{\partial^2}{\partial^2 x} [/mm] mit [mm] x=k\pi [/mm] und [mm] y=l\pi [/mm] , k,l [mm] \in [/mm] N.

[mm] =e^{l\pi}(-2sin^{2}k\pi +cos^{2}k\pi) [/mm]
[mm] =e^{l\pi}. [/mm]

Oder ist meine Ableitung falsch?


mfg

Bezug
                                                        
Bezug
Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Di 15.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Lentio,

> Wieso denn das ?
>  
> Der Wert in [mm]a_{1,1}[/mm] ergibt sich doch aus der partiellen
> Ableitung [mm]\bruch{\partial^2}{\partial^2 x}[/mm] mit [mm]x=k\pi[/mm] und
> [mm]y=l\pi[/mm] , k,l [mm]\in[/mm] N.
>  
> [mm]=e^{l\pi}(-2sin^{2}k\pi +cos^{2}k\pi)[/mm]
>  [mm]=e^{l\pi}.[/mm]
>  
> Oder ist meine Ableitung falsch?
>  


Diese Ableitung ist leider falsch.

Richtig muss sie lauten: [mm]e^{y}(-2sin^{2}\left(x\right) +\red{2}cos^{2}\left(x\right))[/mm]


Demnach an der obigen Stelle:

[mm]e^{l*\pi}( \ -2sin^{2}\left(k*\pi\right) +2cos^{2}\left(k*\pi\right) \ )[/mm]


>

>
> mfg


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Di 15.03.2011
Autor: Lentio

Stimmt,

danke für den Hinweis!


mfg,

Lentio

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de