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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Sei $ B : = [mm] \{ x \in R^n | \, \, ||x||<1\}$ [/mm] , $ [mm] \overline{B} [/mm] : = [mm] \{ x \in R^n | \, \, ||x||\leq 1\}$ [/mm] und $ f: [mm] \overline{B} \to [/mm] R$ eine stetige Funktion. Sei weiterhin $ [mm] f|_B$ [/mm] differenzierbar $f(x) = 0 $ für alle $ x [mm] \in R^n$ [/mm] mit $ ||x||=1$.
Beweisen Sie, dass eine $ [mm] x_o \in [/mm] B$ existiert mit $ [mm] gradf(x_o) [/mm] = 0$ . |
Ich habe keine Idee für das Problem.
Lg
Nadia
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> Sei [mm]B : = \{ x \in R^n | \, \, ||x||<1\}[/mm] , [mm]\overline{B} : = \{ x \in R^n | \, \, ||x||\leq 1\}[/mm]
> und [mm]f: \overline{B} \to R[/mm] eine stetige Funktion. Sei
> weiterhin [mm]f|_B[/mm] differenzierbar und [mm]f(x) = 0[/mm] für alle [mm]x \in R^n[/mm]
> mit [mm]||x||=1[/mm].
> Beweisen Sie, dass eine [mm]x_o \in B[/mm] existiert mit [mm]gradf(x_o) = 0[/mm]
> .
> Ich habe keine Idee für das Problem.
>
> Lg
>
> Nadia
Hallo Nadia,
wenn du zeigen kannst, dass f an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] in B ein
absolutes Extremum annehmen muss, bist du wohl schon
am Ziel, denn dann muss dort wegen der Differenzierbarkeit
von f der Gradient verschwinden.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
ja, das weiß ich noch, aber wie?
Mir fehlt gerade nur der Satz vom Maximum und Minimum ein, bin ich auf dem richtigen Weg?
Lg
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> ja, das weiß ich noch, aber wie?
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> Mir fehlt gerade nur der Satz vom Maximum und Minimum ein,
> bin ich auf dem richtigen Weg?
Falls er dir fehlt, ist es schade. Wenn er dir eingefallen ist,
so schau mal, was du damit anfangen kannst !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 03.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Oh, danke für die Berichtigung :)
Nun zum Beweis:
Für die Existenz von Extrema gilt:
Ist [mm] f\colon[a,b]\to\mathbb [/mm] R eine stetige Funktion und [a,b] eine kompakte Menge, so nimmt f auf [a,b] sein globales Maximum und sein globales Minimum an. Diese können auch in den Randpunkten a oder b angenommen werden.
Da $ [mm] \overline{B} [/mm] : = [mm] \{ x \in R^n | \, \, ||x||\leq 1\} [/mm] $ kompakt ist und f stetig, nimmt [mm] $f_{\overline{B}}$ [/mm] Ihr Maximum und Minimum an.
Außerdem gilt für alle f(x) = 0 für alle $ x [mm] \in R^n [/mm] $ mit $||x||$=1.
Wir nehmen an, dass f(x) = 0 eine Extremstelle ist, dann muss noch eine andere Extremstelle geben, mit [mm] f(x_o) $\neq [/mm] $ 0, also [mm] $||x_o||<1 \Rightarrow x_o\in [/mm] B $
Und dort ist dann [mm] $grad(f(x_o)) [/mm] = 0$
Lg
Nadia
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> Nun zum Beweis:
>
> Für die Existenz von Extrema gilt:
>
> Ist [mm]f\colon[a,b]\to\mathbb[/mm] R eine stetige Funktion und
> [a,b] eine kompakte Menge, so nimmt f auf [a,b] sein
> globales Maximum und sein globales Minimum an. Diese
> können auch in den Randpunkten a oder b angenommen
> werden.
>
> Da [mm]\overline{B} : = \{ x \in R^n | \, \, ||x||\leq 1\}[/mm]
> kompakt ist und f stetig, nimmt [mm]f_{\overline{B}}[/mm] Ihr
> Maximum und Minimum an.
> Außerdem gilt für alle f(x) = 0 für alle [mm]x \in R^n[/mm] mit
> [mm]||x||[/mm]=1.
> Wir nehmen an, dass f(x) = 0 eine Extremstelle ist, dann
> muss noch eine andere Extremstelle geben, mit [mm]f(x_o)[/mm] [mm]\neq[/mm]
> 0, also [mm]||x_o||<1 \Rightarrow x_o\in B[/mm]
> Und dort ist dann
> [mm]grad(f(x_o)) = 0[/mm]
>
> Lg
>
> Nadia
Hallo Nadia,
man sollte wohl verschiedene Fälle unterscheiden.
Zuerst kann man aus den Vorgaben schließen, dass
$\ [mm] Min(f_{\overline{B}})\ \le\ [/mm] 0\ [mm] \le\ Max(f_{\overline{B}})$
[/mm]
Falls $\ [mm] Min(f_{\overline{B}})\ [/mm] =\ 0\ =\ [mm] Max(f_{\overline{B}})$ [/mm] , so ist [mm] f_{\overline{B}} [/mm] konstant,
und grad(f)=0 gilt in ganz B.
Andernfalls, wenn es ein nicht verschwindendes
absolutes Extremum (Minimum oder Maximum)
gibt, kann dieses nicht am Rand [mm] \partial{B} [/mm] auftreten,
da ja dort überall f(x)=0 ist. Die entsprechende
Extremalstelle [mm] x_1 [/mm] (oder eine davon, falls es mehrere
davon geben sollte) liegt also im Inneren, und wegen
der Differenzierbarkeit von f in B muss dann [mm] grad(f)(x_1)=0 [/mm] sein.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 03.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Danke für die ausführliche Erklärung.
Lg
Nadia
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