Extrema E-Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Sa 02.02.2013 | | Autor: | WSparrow |
| Aufgabe | Man bestimme die Extrema folgender Funktion.
[mm] f(x)=e^{x^2}-e^x [/mm] |
Natürlich habe ich bereits die Ableitung bestimmt:
[mm] f'(x)=2xe^{x^2}-e^x
[/mm]
Das stellt für mich auch kein Problem dar. Jetzt muss ich die Funktion ja null setzen, um auf die Extremstellen zu kommen, d.h.
[mm] 2xe^{x^2}-e^x [/mm] = 0
Dann löse ich auf und bis dahin bin ich gekommen:
[mm] 2x*e^{x^2}-e^x [/mm] = 0 [mm] /-e^x
[/mm]
[mm] 2xe^{x^2} [/mm] = [mm] e^x [/mm] / ln
[mm] [ln(2)+ln(x)]*x^2 [/mm] = x / [mm] /x^2
[/mm]
ln(2)+ln(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
leider weiß ich nun nicht wie ich weiter machen soll, denn am Ende bleibt mir m.E. das ln(x) übrig, was mich ein wenig stutzig macht. Laut Zeichnung besitzt die Funktion allerdings eine Nullstelle bei ca. 0,6
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen ;)
Liebe Grüße =)
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Hallo,
deine Vorgehensweise ist nicht falsch, nur: sie ist von vornherein zum Scheitern verurteilt, zumindest was eine analytische Lösung angeht. Sprich: die Nullstelle deiner Ableitung kann man nicht analytisch berechnen, zumindest nicht mit den i.a. als elementar bezeichneten Mitteln.
Es gibt theoretisch zwei Möglichkeiten wie du weiterkommst:
- entweder ihr dürft den GTR verwenden
- oder es ist angedacht, die Extremstelle mitteln eines geeignten Näherungsverfahrens wie bspw. dem Newton-Verfahren zu approximieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:04 Sa 02.02.2013 | | Autor: | WSparrow |
Na dann konnte das ja nichts werden. Wir hatten in der Vorlesung nur ein Verfahren, mit dem man zumindest die Existenz einer Extremstelle nachweisen kann. Hier steht leider nur eine Formel:
[mm] f(x_m) \le [/mm] f(x) [mm] \le (x_M) [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]
nur leider weiß ich damit nichts anzufangen und eigentlich lautete ja auch die Aufgabe, dass man die Extrema bestimmen soll.
Echt seltsam...
Wie könnte man denn zumindest die Existenz der Extremstelle ermitteln, damit man wenigstens das hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich habe mich vertan, lies mal die Antwort von abakus durch, da ist die Vorgehensweise angedeutet.
EDIT: nein, abakus hat auch etwas übersehen, aktueller Stand ist die Antwort von Loddar. 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 02.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme die Extrema folgender Funktion.
>
> [mm]f(x)=e^{x^2}-e^x[/mm]
> Natürlich habe ich bereits die Ableitung bestimmt:
>
> [mm]f'(x)=2xe^{x^2}-e^x[/mm]
>
> Das stellt für mich auch kein Problem dar. Jetzt muss ich
> die Funktion ja null setzen, um auf die Extremstellen zu
> kommen, d.h.
>
> [mm]2xe^{x^2}-e^x[/mm] = 0
>
> Dann löse ich auf und bis dahin bin ich gekommen:
>
> [mm]2x*e^{x^2}-e^x[/mm] = 0 [mm]/-e^x[/mm]
> [mm]2xe^{x^2}[/mm] = [mm]e^x[/mm] / ln
> [mm][ln(2)+ln(x)]*x^2[/mm] = x
Stopp!
Diese Gleichung gilt offensichtlich für x=0.
Gruß Abakus
> / [mm]/x^2[/mm]
> ln(2)+ln(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> leider weiß ich nun nicht wie ich weiter machen soll, denn
> am Ende bleibt mir m.E. das ln(x) übrig, was mich ein
> wenig stutzig macht. Laut Zeichnung besitzt die Funktion
> allerdings eine Nullstelle bei ca. 0,6
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen ;)
>
> Liebe Grüße =)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
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