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Forum "Extremwertprobleme" - Extrema bei Funktionsschar
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Extrema bei Funktionsschar: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Fr 14.04.2006
Autor: Amy1988

Aufgabe
Gegebn ist eine Funktionsschar ft. Für welchen Wert von t wird die y-Koordinate desTeifpunkts am kleinsten?
ft(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - 12x + [mm] 4t^2 [/mm] - 6t

Hallo ihr lieben Mathe-freaks!!!

Leider bin ich mit dieser Aufagbe vollkommen überfordert....
Ich kenne zwar die Regeln für Extrema und so weiter, aber diese "t" verwirrt mich total und ich weiß so garnicht, wie ich überhaupt an diese Aufgabe rangehen soll...

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
Ich bedanke mich schonmal...
Amy
        
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Ortskurve bestimmen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Fr 14.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Amy!


Dieses $t_$ braucht Dich aber nicht weiter zu beunruhigen. ;-) Es wird betrachtet wie eine feste (konstante) Zahl. Stelle Dir z.B. vor, da steht eine $4_$ ...


Nun musst Du zunächst die Extremstelle (genauer: das Minimum) berechnen. Das geschieht wie immer durch Ermitteln der Nullstellen der 1. Ableitung: [mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ 0$ .

Dabei wird in der Lösung [mm] $x_T [/mm] \ = \ ...$ noch der Parameter $t_$ drin stecken. Damit musst Du dann die MBOrtskurve des Tiefpunktes ermitteln und auch hierfür eine Extremwertberechnung machen ...


Aber erst mal einen Schritt nach dem anderen ... wie lautet denn Dein [mm] $x_T$ [/mm] ?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Fr 14.04.2006
Autor: Amy1988

also ich habe erstmal abgeleitet:

1.Abl.
ft(x) = 6x - 12 + 8t - 6
richtig?

wenn ich das dann nullsetze, bekomme ich für
x = 3 - 4/3 t

kann das sein?
Bezug
                        
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Ableitung falsch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Fr 14.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Amy!


Die Ableitung stimmt leider nicht! Die beiden Terme [mm] $+4t^2-6t$ [/mm] haben doch gar keine Variable $x_$ bei sich und entfallen als konstante Zahlen beim Ableiten.


Also ...?


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Fr 14.04.2006
Autor: Amy1988

mist...du hast ja recht =)

also dann lautet die ableitung
ft(x) = 6x - 12

und für x bekomme ich dann 2 raus...
ist das richtig?
Bezug
                                        
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Richtig! Und weiter ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Fr 14.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Amy!


Genau richtig! Handelt es sich auch wirklich um ein Minimum? Das müsste noch anhand der 2. Ableitung überprüft werden ...


Dann den Wert [mm] $x_T [/mm] \ = \ 2$ in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen und Du erhältst eine Funktion [mm] $y_T(t)$ [/mm] .

Für diese Funktion [mm] $y_T(t)$ [/mm]  ist dann eine Extremwerberechnung nach der Variablen $t_$ durchzuführen.


Gruß
Loddar

Bezug
                                                
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Fr 14.04.2006
Autor: Amy1988

Also die zweite Ableitung ist bei mir dann
ft´´(x)=6

Überprüfung des Minimums
ft´´(2) = 6 > 0 => Minimum

So dann in die Ausgangsfunktion
ft(2) = -12 + [mm] 4t^2 [/mm] - 6t

Richtig?

Und dann kann ich doch die p-q-Formel anwenden
Dann würde ich für
t1 = 2,64 und für t2 = -1,14
rausbekommen

Kann das sein?


Bezug
                                                        
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: ableiten!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Fr 14.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Amy!


> Überprüfung des Minimums
> ft´´(2) = 6 > 0 => Minimum

[ok]


  
> So dann in die Ausgangsfunktion
> ft(2) = -12 + [mm]4t^2[/mm] - 6t

[ok]


> Und dann kann ich doch die p-q-Formel anwenden

[notok] Diese Funkltion $y(t) \ = \ [mm] 4*t^2-6*t-12$ [/mm] musst Du nun wieder ableiten, um das $t_$ zu finden für das extremale [mm] $y_T$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Fr 14.04.2006
Autor: Amy1988

oh man...du musst ja auch denken, ich wäre doof =)

also gut

dann ist
y´(t) = 8t - 6
y´´(t) = 8

wenn ich das dann wieder nullsetzte, kommt für
t = 3/4
raus
stimmt das?

würde ich das dann wieder überprüfen
y´´(3/4) = 8 > 0 => minimum

soweit okay?

und dann?
Bezug
                                                                        
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: fast fertig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Fr 14.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Amy!


> oh man...du musst ja auch denken, ich wäre doof =)

Na, na, na ... selbstverständlich denke ich das nicht.

  
> dann ist
> y´(t) = 8t - 6
> y´´(t) = 8
>  
> wenn ich das dann wieder nullsetzte, kommt für
> t = 3/4 raus

[ok]

> würde ich das dann wieder überprüfen
> y´´(3/4) = 8 > 0 => minimum

[ok]


Und nun brauchst Du nur noch den Wert [mm] $t_E [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] in die Gleichung [mm] $y_{T,\min} [/mm] \ = \ [mm] 4*t_E^2+6*t_E-12 [/mm] \ = \ ...$ einsetzen und bist fertig!


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                                
Bezug
Extrema bei Funktionsschar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Fr 14.04.2006
Autor: Amy1988

danke, danke, danke!!!!

das war echt super lieb von dir!!!

bis bald amy
Bezug
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