Extrema bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Do 05.06.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Berechnen sie die lokalen und globalen Extrema
von
f(x):= e^(-x)*abs(sin(x)) |
hallo,
mit der aufgabe hab ich so meine probleme (wegen des sinus und des betrags)
ich würde nach der produktregel sagen
f1(x) := -e^(-x)*abs(sin(x))+e^(-x)*abs(cos(x))
wobei mir nicht ganz klar ist was die ableitung von abs(sin(x)) ist. ich würde behaupten abs(cos(x))
mein taschenrechner sagt aber folgendes:
f^(x) = cos(x)*e^(-x)*sign(sin(x))-e^(-x)*abs(sin(x))
welche ableitung stimmt nun ?
wie bestimme ich aber hier jetzt am besten die nullstelle ?
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 05.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Tobus,
> wobei mir nicht ganz klar ist was die ableitung von
> abs(sin(x)) ist. ich würde behaupten abs(cos(x))
Damit behauptest Du, dass abs(sin(x)) monoton steigend wäre...
(wg. abs(cos(x))>=0)
Ne korrekte Alternative habe ich jetzt allerdings auch nicht parat. :-(
Schöne Grüße
ardik
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> Berechnen sie die lokalen und globalen Extrema
> von
> f(x):= e^(-x)*abs(sin(x))
> hallo,
> mit der aufgabe hab ich so meine probleme (wegen des sinus
> und des betrags)
Hallo,
mach Dir als erstes klar, was die Betragsfunktion tut:
es ist [mm] |y|=\begin{cases} y, & \mbox{für } y\ge 0 \mbox{} \\ -y, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Das bedeutet:
es ist [mm] |sin(x)|=\begin{cases} sin(x), & \mbox{für } sin(x)\ge 0 \mbox{} \\ -sin(x), & \mbox{für } sin(x)<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Nun überlege Dir, was das jeweils fürs x bedeutet.
Für welche x ist sinx [mm] \ge [/mm] 0 und für welche <0?
Wenn Du das weißt, kannst Du Deine Funktion als abschnittweise defineirte Funktion aufschreiben.
Innnerhalb der einzelnen Abschnitte kannst Du die Funktion dann wie gewohnt ableiten, an den "Nahtstellen" wäre über die Differenzierbarkeit nachzudenken.
Gruß v. Angela
P.S.: Diese Frage gehört zur Differentiation, Differentialgleichungen sind etwas anderes. (Ich verschieb's.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 05.06.2008 | | Autor: | Tobus |
hallo,
$ [mm] |sin(x)|=\begin{cases} sin(x), & \mbox{für } sin(x)\ge 0 \mbox{} \\ -sin(x), & \mbox{für } sin(x)<0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
d.h.
sin(x) für [0,Pi], [2Pi,3Pi], ... ableitung: cosx
-sin(x) für [Pi,2Pi], [3Pi,4Pi], ... ableitung: -cosx
ich weiß aber immer noch nicht genau, wie ich hiervon nun meine (2?) ableitungen definieren kann
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> hallo,
>
> [mm]|sin(x)|=\begin{cases} sin(x), & \mbox{für } sin(x)\ge 0 \mbox{} \\ -sin(x), & \mbox{für } sin(x)<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> d.h.
> sin(x) für [0,Pi], [2Pi,3Pi], ... ableitung: cosx
> -sin(x) für [Pi,2Pi], [3Pi,4Pi], ... ableitung: -cosx
>
> ich weiß aber immer noch nicht genau, wie ich hiervon nun
> meine (2?) ableitungen definieren kann
Hallo,
erstens mal werden die nicht definiert sondern ausgerechnet, und zweitens erkenne ich Dein Poblem nicht.
Du hast doch jetzt harausgefunden
[mm]|sin(x)|=\begin{cases} sin(x), & \mbox{für } x\in[2(k-1)\pi, 2k\pi] \mbox{} \\ -sin(x), & \mbox{für } x\in[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi] \mbox{ } \end{cases}[/mm], [mm] k\in \IZ.
[/mm]
Also ist
[mm]f(x)=\begin{cases} e^{-x}sin(x), & \mbox{für } x\in[2(k-1)\pi, 2k\pi] \mbox{} \\ -e^{-x}sin(x), & \mbox{für } x\in[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi] \mbox{ } \end{cases}[/mm], [mm] k\in \IZ.
[/mm]
Nun kannst Du doch die Ableitung innerhalb der Intervalle aufschreiben, und anschließend untersuchst Du noch die Nahtstellen auf Differenzierbarkeit.
Gruß v. Angela
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