Extrema einer Wurzelfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mi 18.12.2013 | | Autor: | artist13 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f:D->R mit [mm] f(x)=sqrt((3+x^2)/(x+1))
[/mm]
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich
b) Untersuchen Sie auf f auf lokale und globale Extremstellen |
Hallo alle,
Nun für den maximalen Definitionsbereich bestimmt man ja die Nullstellen von f -> x = i*sqrt(3) oder x= -i*sqrt(3). Somit wäre der maximale def. Bereich komplex [-i*sqrt(3), i*sqrt(3)]. Ist das korrekt so?
bei b)
Habe ich [mm] f'(x)=(x^2+2x-3)/(2(x+1)^2*sqrt((x^2+3)/x+1)))=0
[/mm]
da der Nenner positiv ist, betrachte ich nur [mm] (x^2+2x-3) [/mm] und bestimme die Nulstellen:
x=1 und x=-3
Aber wie würde ich überprüfen ob diese lokale oder globale minima/maxima sind?
In einem Beispiel habe ich gesehen, dass auf monotonie überprüft wurde.. ich habe aber keine Ahnung wie man in diesem Fall vorgeht. Wäre dankbar für euren Einsatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Do 19.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo artist!
> Somit wäre der maximale def. Bereich komplex
> [-i*sqrt(3), i*sqrt(3)]
Mal als Grundfrage: bewegt ihr euch bei der Funktionsuntersuchung bis in den komplexen Zahlenbereich [mm] $\IC$ [/mm] hinein?
Zudem könntest Du hier auch nicht einfach voraussetzen, dass die Funktionswerte ausschließlich in [mm] $\I$ [/mm] landen.
Und zu allerletzt: eine Angabe eines Intervalles in [mm] $\IC$ [/mm] ist immer sehr problembehaftet, da in [mm] $\IC$ [/mm] keine Anordnung vorherrscht.
Du siehst: alles dies deutet darauf hin, dass Dein vermeintlicher Definitionsbereich alles andere als richtig ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Do 19.12.2013 | | Autor: | artist13 |
Loddar, du hast natürlich recht. Was ich da geschrieben habe ist Quatsch. Man sollte den Nenners untersuchen, also von sqrt(x+1). Die Wurzel existiert im R nur wenn x>-1. Also wäre der Definitionsbereich ]-1, unendlich) ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Do 19.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Stelle deine Fragen bitte als Fragen und nicht als Mitteilung!
Ich bin mir auf Grund deiner Lösung nicht sicher, ob du es verstanden hast, also gehe ich das mal ausführlich durch.
> Loddar, du hast natürlich recht. Was ich da geschrieben habe ist Quatsch.
> Man sollte den Nenners untersuchen, also von sqrt(x+1).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist nicht eindeutig genug!
Deine Abbildung ist gegeben durch
[mm] f:D\longrightarrow \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\sqrt{\frac{3+x^2}
{x+1}}
[/mm]
Du willst nun den maximalen reellen Definitionsbereich angeben.
Wie du selbst schon gesagt hast, darf zunächst der Nenner nicht Null werden, sonst haben wir ein Problem.
Jetzt musst du dir noch Gedanken machen, ob für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x\not=-1 [/mm] auch [mm] \frac{3+x^2}{x+1}\ge0 [/mm] gilt! (Wieso?)
> Die Wurzel existiert im R nur wenn x>-1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun fehlt die komplette Argumentation, aber es ist richtig!
> Also wäre der Definitionsbereich ]-1, unendlich) ??
Hier auch 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 19.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
> Stelle deine Fragen bitte als Fragen und nicht als
> Mitteilung!
Das ist doch kein Problem, an dem man sich aufhängen muss. Dazu sind hier im MatheRaum die Mods da, wir regeln das schon und wenn wir es mal irgendwo übersehen, kann man uns ja einen Hinweis geben.
Also: auf Mezzopiano schalten und Mathematik machen anstatt Posaune üben.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Do 19.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Diophant,
> Hallo DieAcht,
>
> > Stelle deine Fragen bitte als Fragen und nicht als
> > Mitteilung!
>
> Das ist doch kein Problem, an dem man sich aufhängen muss.
Mach ich nicht
> Dazu sind hier im MatheRaum die Mods da, wir regeln das
> schon und wenn wir es mal irgendwo übersehen, kann man uns ja einen Hinweis geben.
>
Super, danke dir!
> Also: auf Mezzopiano schalten und Mathematik machen anstatt Posaune üben.
Okay, eventuell war mein Ausrufezeichen "zu viel"? Ich meinte das nicht so, ich wollte ihn nur darauf hinweisen.
>
> Gruß, Diophant
Liebe Grüße
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 19.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo artist!
> Habe ich [mm]f'(x)=(x^2+2x-3)/(2(x+1)^2*sqrt((x^2+3)/x+1)))=0[/mm]
> da der Nenner positiv ist, betrachte ich nur [mm](x^2+2x-3)[/mm]
> und bestimme die Nulstellen:
> x=1 und x=-3
Rechnerisch korrekt. Aber gehören auch beide Werte zum Definitionsbereich?
> Aber wie würde ich überprüfen ob diese lokale oder
> globale minima/maxima sind?
Als hinreichendes Kriterium könntest Du natürlich die 2. Ableitung bemühen.
Oder aber Du untersuchst die 1. Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel an der einen möglichen Stelle.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Do 19.12.2013 | | Autor: | artist13 |
Also, wenn mein Definitionsbereich stimmt ]-1, unendlich) dann kommt nur x=1 in Frage.
Die zweite Ableitung wäre:
[mm] f''(x)=(-x^4-4 x^3+18 x^2+12 [/mm] x+39)/(4 [mm] (x+1)^4 ((x^2+3)/(x+1))^{3/2})
[/mm]
für x=1 -> f''(1)=1/(2sqrt(2))>0 -> lokales minimum
Wie würde man untersuchen ob das auch ein globales minimum ist?
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Hallo,
überprüfe mal in deiner zweiten Ableitung den Exponenten 4 an dem Faktor (x+1). Der kommt mir spanisch vor, aber ehrlich gesagt ist das auch schier nicht zu leisten, so lange du solche Terme nicht vernünftig mittels LaTeX als Bruch notierst. Der Zähler sieht gut aus jedenfalls (will sagen: den habe ich genauso). Damit du mal siehst, wie das geht, hier meine Version der zweiten Ableitung:
[mm] f''(x)=-\bruch{x^4+4*x^3-18*x^2-12*x-39}{4*\wurzel{(3+x^2)^3*(1+x)^5}}
[/mm]
Klicke darauf, um dir die Syntax klarzumachen!
> Also, wenn mein Definitionsbereich stimmt ]-1, unendlich)
> dann kommt nur x=1 in Frage.
> Die zweite Ableitung wäre:
> [mm]f''(x)=(-x^4-4 x^3+18 x^2+12[/mm] x+39)/(4 [mm](x+1)^4 ((x^2+3)/(x+1))^{3/2})[/mm]
>
> für x=1 -> f''(1)=1/(2sqrt(2))>0 -> lokales minimum
> Wie würde man untersuchen ob das auch ein globales
> minimum ist?
Das könnte man zu Beispiel leicht mit dem Monotonieverhalten und den Asymptoten begründen. Dazu brauchst du noch den Funktionswert des Minimums.
Gruß, Diophant
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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