Extrema einer trig. Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 06.04.2007 | | Autor: | dall |
| Aufgabe | an einem sommertag wurde in hannover die temperatur ständig aufgezeichnet. die so entstandene kurve kann durch die funktion
f(t) = 6 sin ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * t + 3,8 ) + 21
wobei t die tageszeit in stunden angibt, relativ gut beschrieben werden.
berechnen sie den zeitpunkt (auf die minute genau), an dem die temperatur am höchsten war. |
hallo :)
lerne gerade für mein mathe-gk-abi und verzweifle an dieser aufgabe.
meine idee war, dass man den extrempunkt der funktion errechnen muss, also hab ich abgeleitet:
f'(t) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * cos ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * t + 3,8 )
f''(t) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * (-sin ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * t + 3,8 ))
dann hab ich die erste ableitung gleich null gesetzt. aber wenn ich
cos ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * t + 3,8 ) = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
stehen habe (vorausgesetzt natürlich, der schritt war überhaupt nötig ;) ), wie mach ich dann weiter?
danke vielmals für eure hilfe!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dall,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Ableitungen sowie der Ansatz, die Extremwerte zu berechnen, sind richtig.
Allerdings formst Du wohl die notwendige Bedingung $f'(t) \ = \ 0$ falsch um.
Aus $f'(t) \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}*\cos\left(\bruch{\pi}{12}*t+3.8\right) [/mm] \ = \ 0$ wird durch die Multiplikation mit [mm] $\bruch{2}{\pi}$ [/mm] :
[mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{12}*t+3.8\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 07.04.2007 | | Autor: | dall |
hallo loddar,
danke für deine hilfe, den fehler hatte ich vorher auch noch nicht gesehen. war wohl gestern schon etwas überlernt ;)
allerdings hab ich weiterhin keine ahnung, wie ich jetzt weiterrechne. wie finde ich heraus, an welcher stelle
cos ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] t + 3,8 ) gleich null wird? wie ist die periodenlänge? kann diese streckung (oder stauchung?) mit [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] und die verschiebung um 3,8 in der praxis nicht anwenden. dafür brauch ich hilfe.
danke weiterhin!
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Hallo
Sie müssen die cos^-1(0) rechnen. Dann fällt cos weg.
x*pi/2+3,8=pi/2
x=6-45,6/pi
x~-8,51
Die Periodenlänge können Sie schon aus der Gleichung erkennen.
Gruß
R. Kleiner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 07.04.2007 | | Autor: | dall |
vielen dank! können sie mir die rechnung noch einmal genauer erklären?
ich hab jetzt die erste ableitung:
f'(t) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * cos ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * t + 3,8 )
also als notwendiges kriterium
[mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * cos ( [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * t + 3,8 ) = 0
wie genau geht es weiter? brauch ich den taschenrechner für [mm] cos^{-1} [/mm] (0)? hab das alles vergessen, ist schon so lange her..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Sa 07.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
cos(irgendwas)=0 wenn [mm] irgendwas=\pi/2 [/mm] (oder [mm] \pm \pi/2 \pm n*\pi)
[/mm]
ob das irgendwas jetzt x heisst oder irgend ein langer Ausdruck ist ist dabei egal. Du musst dir einfach vorstellen, dass das was im cos steht ja am Ende eine Zahl ist, und die muss eben [mm] \pi/2 [/mm] sein, damit der cos 0 ist.
hier muss also
[mm] \bruch{\pi}{12}[/mm] [/mm] * t + 3,8 [mm] =\pi/2 [/mm] sein! (oder [mm] 3*pi\2) [/mm] usw.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 07.04.2007 | | Autor: | dall |
jajajaja x)
danke! das leuchtet ein.
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> jajajaja x)
> danke! das leuchtet ein.
Hi,
ferner ist nie schlecht, die gesamte Nullstellenanzahl anzugeben, da so eine Sinusfunktion ja
unendlich viele Extrem- bzw. Nullstellen hat.
[mm] $$\cos\left(\bruch{\pi}{12}t+3{,}8\right)=0\qquad\gdw\qquad \bruch{\pi}{12}t+3{,}8=\bruch{\pi}{2}+\red{n*\pi}\qquad n\in\mathbbm{Z}$$ [/mm]
Dann entsprechend nach $t$ auflösen und das Ergebnis ist tadellos.
Grüße, Stefan.
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Sie müssen cos (pi/12*t+3,8) nullsetzen. Wenn dies Null wird, wird auch pi/2*cos (pi/12*t+3,8) null, deshalb interessiert das pi/2 auch nicht.
Der Kosekans von 0 ist pi/2+k*pi -k element von Z
(pi/12*t+3,8)=pi/2+k*pi
Nun bringen Sie 3,8 auf die andere Seite und rechnen die rechte Seite *12/pi.
Natürlich wiederholen sich die Höchstwerte alle 24h.
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