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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Extremstelle und den Extremwert der Funktion:
f(x,y,z,w) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] + [mm] w^{2}
[/mm]
unter der Nebenbedingung: (x + y + z = 3 und z + w = 6)
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Hi ihr Lieben,
ich habe folgende Aufgabe druchgerechnet, und würde mich riesig über jemanden freuen der sich das kurz einmal angucken könnte und korrektlesen will! Meine Ansätze sehen folgendermaßen aus:
1.) Nebenbedingungen verarbeiten
x + x + z = 3 -> z = 3 - x - y und z + w = 6 -> w = 6 - z
diese nun in f(x,y,z,w) einsetzen und ausmultiplizieren:
f(x,y,z,w) = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] + 4xy + 18
2.) Ableitungen bilden
[mm] f_{x} [/mm] = 6x + 4y und [mm] f_{xx} [/mm] = 6
[mm] f_{y} [/mm] = 4x + 6y und [mm] f_{yy} [/mm] = 6
[mm] f_{xy} [/mm] = 4
3.) Stationäre Stellen
[mm] f_{x} [/mm] = 0 -> 6x + 4y = 0
[mm] f_{y} [/mm] = 0 -> 4x + 6y = 0
gleichsetzen:
6x + 4y = 4x + 6y -> x = y -> 6x + 4x = 0 -> x = 0 -> y = 0
Das heißt, die stationäre Stelle liegt bei S(0/0).
4.) Diskreminante
D(x,y) = [mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] - [mm] (f_{xy})^{2} [/mm] -> D(x,y) = 6 * 6 [mm] -(4)^{2} [/mm] -> D(x,y) = 20
-> D > 0 -> es liegt ein Extrema vor!
5.) Art der Extrema
(in Aufgabe nicht mehr gefordert)
[mm] f_{yy} [/mm] = 6 -> 6 > 0 -> es liegt ein Minimum vor.
So, ist mein Weg (und das Ergebnis) so korrekt?
Ich wünsche allen noch einen schönen Abend, vielen Dank im Voraus...
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 28.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!!
zumindest 1), 2) und 3) sind richtig. auch 5) passt.
und wenn die formel für die diskriminante so geht, dann kann ja nicht mehr viel schiefgehen!
lg anitram
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