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Hi,
ich hab folgendes in einem anderen beitrag gelesen.
Zunächst muß die Hessematrix definit sein $ [mm] \left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;f_{xy}^2 } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] > [mm] \;0 [/mm] $
$ [mm] \left( {\begin{array}{\cdot{}{20}c} {f_{xx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} & {f_{xy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} \\ {f_{yx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} & {f_{yy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)} \\ \end{array}} \right) [/mm] $
Um die Art des Extremums festzustellen, werden die Diagonalelemente betrachtet.
Gilt $ [mm] f_{xx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] > [mm] \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] > [mm] \;0\; [/mm] $ , so liegt ein lokales Minimum vor.
Gilt $ [mm] f_{xx} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] < [mm] \;0,\;f_{yy} \left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] < [mm] \;0\; [/mm] $ , so liegt ein lokales Maximum vor.
Ist hingegen $ [mm] \left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;f_{xy}^2 } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] < [mm] \;0 [/mm] $ , so liegt ein Sattel- oder Jochpunkt vor.
Für $ [mm] \left( {f_{xx} \;f_{yy} \; - \;f_{xy}^2 } \right)\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; [/mm] = [mm] \;0 [/mm] $ kann nicht entschieden werden, ob ein Extremum vorliegt oder nicht.
Meine Frage nun: wie sieht das aus, wenn ich mit der Hessematrix in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ entscheiden will ob es sich um positiv oder negativ oder indefinit handelt?
Hoffe dass sich jemand erbarmt mir diese dumme Frage schnell zu beantworten, da es wirklich dringend ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
man prüft die definitheit der Hessematrix üblicherweise über die hauptminoren.
Wikipedia erklärt die hauptminoren folgendermaßen:
Die linken oberen k×k-Teilmatrizen [mm] $A_k$ [/mm] der n×n-Matrix A, die durch Streichung der n-k rechtesten Spalten und n-k untersten Zeilen entstehen, haben eine (wenigstens theoretische) Bedeutung für die Feststellung der Definitheit der Matrix A. Die Determinanten [mm] $|A_k|$ [/mm] dieser Teilmatrizen heißen Hauptminoren.
(sorry, aber das in eigene worte fassen, macht keinen spass...  )
bei einer 3x3-Matrix ist also das element links oben die erste hauptminore, die determinante der 2x2-Matrix links oben die zweite und die determinate der gesamtmatrix die dritte. (analogie zu deinem vorgehen bei 2x2-Matrizen)
sind alle hauptminoren positiv, so ist die matrix positiv definit. ist die erste hauptminore negativ und wechseln sich danach alle hauptminoren im vorzeichen ab (also +,-,+,-,+,...), dann ist sie negativ definit. gilt statt striktem vorzeichen nur [mm] $\ge$ [/mm] oder [mm] $\le$, [/mm] dann hat man noch semidefinitheit.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mo 25.07.2005 | | Autor: | intuition |
Danke, das hat mir geholfen, auch wenn ich erstmal überlegen musste, was das bedeuten soll.
THX
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