Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 11.05.2016 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | | Sei E die Ellipse, die gegeben ist durch den Schnitt der Ebene x+2y+3z=45 mit dem Paraboloid [mm] z=2x^2+y^2. [/mm] Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y,z)=z auf E. |
n'Abend allerseits, ich bin mir nicht sicher ob ich den richtigen Weg eingeschlagen habe, deshalb wäre es nett wenn Ihr mir da ein Feedback geben könntet.
E: x+2y+3z=45 bzw. x=45-2y-3z
f(x,y,z)=z also [mm] f(x,y,z)=2x^2+y^2
[/mm]
setze ich nun E in f ein erhalte ich: [mm] f(x,y,z)=2(45-2y-3z)^2+y^2
[/mm]
nach einbisschen Rechnerei folgt dann [mm] f(x,y,z)=4050-360y+9y^2-540z+24yz+19z^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-360+18y+24z
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=-540+24y+36z
[/mm]
wende ich nun das notw. Krit. für Extrema an, so erhalte ich
0=-360+18y+24z
0=-540+24y+36z
und als Lösung dieses Gleichungssystems z=15, y=0
also hab ich ein mölgiches Extrema in (0,15)
Ist das soweit richtig??
Da die Hessematrix [mm] \pmat{ 18 & 24 \\ 24 & 36 } [/mm] positiv definit ist, hab ich also einen Tiefpunkt.
Kann ich das so machen oder hab ich was grundlegendes vergessen?
Danke für die Hilfe und einen schönen Abend
Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 12.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei E die Ellipse, die gegeben ist durch den Schnitt der
> Ebene x+2y+3z=45 mit dem Paraboloid [mm]z=2x^2+y^2.[/mm] Bestimmen
> Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y,z)=z auf E.
> n'Abend allerseits, ich bin mir nicht sicher ob ich den
> richtigen Weg eingeschlagen habe, deshalb wäre es nett
> wenn Ihr mir da ein Feedback geben könntet.
>
> E: x+2y+3z=45 bzw. x=45-2y-3z
>
> f(x,y,z)=z also [mm]f(x,y,z)=2x^2+y^2[/mm]
>
> setze ich nun E in f ein erhalte ich:
> [mm]f(x,y,z)=2(45-2y-3z)^2+y^2[/mm]
> nach einbisschen Rechnerei folgt dann
> [mm]f(x,y,z)=4050-360y+9y^2-540z+24yz+19z^2[/mm]
Jetzt ist aber völlig untergegangen, dass f(x,y,z)=z ist !
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=-360+18y+24z[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=-540+24y+36z[/mm]
>
> wende ich nun das notw. Krit. für Extrema an, so erhalte
> ich
> 0=-360+18y+24z
> 0=-540+24y+36z
> und als Lösung dieses Gleichungssystems z=15, y=0
>
> also hab ich ein mölgiches Extrema in (0,15)
> Ist das soweit richtig??
Nein.
1. kritische Punkte von f sind Punkte im [mm] \IR^3 [/mm] und nicht im [mm] \IR^2 [/mm] !
2. wenn Du y=0 und z=15 in die Gl. der Ebene einsetzt, so liefert das x=0.
Setzt Du y=0 und z=15 in die Gl. des Paraboloids ein, so bekommst Du [mm] 15=2x^2.
[/mm]
Das passt nicht zusammen.
Tipp: Multiplikatorenregel von Lagrange
FRED
>
> Da die Hessematrix [mm]\pmat{ 18 & 24 \\ 24 & 36 }[/mm] positiv
> definit ist, hab ich also einen Tiefpunkt.
>
> Kann ich das so machen oder hab ich was grundlegendes
> vergessen?
>
> Danke für die Hilfe und einen schönen Abend
> Seb
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Fr 13.05.2016 | | Autor: | studiseb |
Moin, ich hab mich nochmal an die Aufgabe gesetzt und es mit Lagrange versucht. Dabei bin ich wie folgt vorgegangen:
[mm] z=2x^2+y^2 [/mm] NB: x+2y+3z=45
[mm] f(x,y,z)=z=2x^2+y^2
[/mm]
g(x,y,z)=x+2y+3z-45
[mm] g(x,y,(2x^2+y^2))=6x^2+3y^2+x+2y-45
[/mm]
[mm] L(x,y,\lambda)=2x^2+y^2+\lambda(6x^2+3y^2+x+2y-45)
[/mm]
[mm] L_{x}(x,y,\lambda)=4x+\lambda(1+12y)
[/mm]
[mm] L_{y}(x,y,\lambda)=2y+\lambda(2+6y)
[/mm]
[mm] L_{\lambda}(x,y,\lambda)=6x^2+3y^2+x+2y-45
[/mm]
Löst man nun das Gleichungssystem
(1) [mm] 4x+\lambda(1+12y)=0
[/mm]
(2) [mm] 2y+\lambda(2+6y)=0
[/mm]
(3) [mm] 6x^2+3y^2+x+2y-45=0
[/mm]
so erhalt man:
aus (1) [mm] \lambda=\bruch{-4x}{1+12x}
[/mm]
aus (2) [mm] \lambda=\bruch{-y}{1+3y}
[/mm]
und somit y=4x
mit y=4x in (3) ergibt sich: [mm] x^2+\bruch{1}{6}x-\bruch{5}{6}
[/mm]
also [mm] x_{1}=-1 [/mm] und [mm] x_{2}=\bruch{5}{6}
[/mm]
und weiter folgende mögliche Extrema:
[mm] x_{1}=-1; y_{1}=-4; \lambda_{1}\bruch{-4}{11}; z_{1}=18
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{5}{6}; y_{2}=\bruch{10}{3}; \lambda_{2}\bruch{-10}{33}; z_{2}=12,5
[/mm]
Kann ich das bis dahin so machen? Zumindest passt jetzt alles mit meinen NB etc. was vorher mit der 15 nicht gepasst hat 
Um jetzt zu überprüfen ob ich ein Maximum oder Minimum habe würde ich des gerne mit der geränderten Hessematrix machen.
[mm] \overline{H}(x,y,\lambda)=\pmat{ 0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & L_{xx} & L_{xy} \\ g_{y} & L_{yx} & L_{yy} }=\pmat{ 0 & 1+12x & 2+6y \\ 1+12x & 2\lambda & 0 \\ 2+6y & 0 & 2\lambda }
[/mm]
[mm] \overline{H}_{1}(-1,-4,\bruch{-4}{11})=\pmat{ 0 & -11 & -22 \\ -11 & \bruch{-8}{11} & 0 \\ -22 & 0 & \bruch{-8}{11} }
[/mm]
[mm] \overline{H}_{2}(\bruch{5}{6},\bruch{10}{3},\bruch{-10}{33})=\pmat{ 0 & 11 & 22 \\ 11 & \bruch{-20}{33} & 0 \\ 22 & 0 & \bruch{-20}{33} }
[/mm]
[mm] det(\overline{H}_{1})=440 [/mm] > 0 also Maximum
[mm] det(\overline{H}_{2})\bruch{1100}{3} [/mm] >0 also Maximum
????
Wie können denn zwei Maxima auftreten ohne, dass ich da ein Minimum habe? Oder hat sich irgendwo ein Rechen-/Denkfehler eingeschlichen, den ich übersehen habe?
DANKE für Eure Hilfe und einen schönen Start ins Pfingstwochenende
Seb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Fr 13.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Moin, ich hab mich nochmal an die Aufgabe gesetzt und es
> mit Lagrange versucht. Dabei bin ich wie folgt
> vorgegangen:
>
> [mm]z=2x^2+y^2[/mm] NB: x+2y+3z=45
> [mm]f(x,y,z)=z=2x^2+y^2[/mm]
>
> g(x,y,z)=x+2y+3z-45
> [mm]g(x,y,(2x^2+y^2))=6x^2+3y^2+x+2y-45[/mm]
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=2x^2+y^2+\lambda(6x^2+3y^2+x+2y-45)[/mm]
>
> [mm]L_{x}(x,y,\lambda)=4x+\lambda(1+12y)[/mm]
> [mm]L_{y}(x,y,\lambda)=2y+\lambda(2+6y)[/mm]
> [mm]L_{\lambda}(x,y,\lambda)=6x^2+3y^2+x+2y-45[/mm]
>
> Löst man nun das Gleichungssystem
> (1) [mm]4x+\lambda(1+12y)=0[/mm]
> (2) [mm]2y+\lambda(2+6y)=0[/mm]
> (3) [mm]6x^2+3y^2+x+2y-45=0[/mm]
>
> so erhalt man:
> aus (1) [mm]\lambda=\bruch{-4x}{1+12x}[/mm]
> aus (2) [mm]\lambda=\bruch{-y}{1+3y}[/mm]
> und somit y=4x
>
> mit y=4x in (3) ergibt sich:
> [mm]x^2+\bruch{1}{6}x-\bruch{5}{6}[/mm]
> also [mm]x_{1}=-1[/mm] und [mm]x_{2}=\bruch{5}{6}[/mm]
>
> und weiter folgende mögliche Extrema:
> [mm]x_{1}=-1; y_{1}=-4; \lambda_{1}\bruch{-4}{11}; z_{1}=18[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\bruch{5}{6}; y_{2}=\bruch{10}{3}; \lambda_{2}\bruch{-10}{33}; z_{2}=12,5[/mm]
>
> Kann ich das bis dahin so machen?
Ja, Du hast die richtigen Punkte bekommen. Allerdings hast Du oben einmal durch 1+12x dividiert und einmal durch 1+3y.
Du solltest allerdings noch zeigen, dass Du das darfst. Zeige also: x=-1/12 und auch y=-1/3 führen zu keinen Lösungen.
> Zumindest passt jetzt
> alles mit meinen NB etc. was vorher mit der 15 nicht
> gepasst hat
>
> Um jetzt zu überprüfen ob ich ein Maximum oder Minimum
> habe würde ich des gerne mit der geränderten Hessematrix
> machen.
Ich würde das nicht ! Warum, sage ich Dir weiter unten.
>
> [mm]\overline{H}(x,y,\lambda)=\pmat{ 0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & L_{xx} & L_{xy} \\ g_{y} & L_{yx} & L_{yy} }=\pmat{ 0 & 1+12x & 2+6y \\ 1+12x & 2\lambda & 0 \\ 2+6y & 0 & 2\lambda }[/mm]
>
> [mm]\overline{H}_{1}(-1,-4,\bruch{-4}{11})=\pmat{ 0 & -11 & -22 \\ -11 & \bruch{-8}{11} & 0 \\ -22 & 0 & \bruch{-8}{11} }[/mm]
>
> [mm]\overline{H}_{2}(\bruch{5}{6},\bruch{10}{3},\bruch{-10}{33})=\pmat{ 0 & 11 & 22 \\ 11 & \bruch{-20}{33} & 0 \\ 22 & 0 & \bruch{-20}{33} }[/mm]
>
> [mm]det(\overline{H}_{1})=440[/mm] > 0 also Maximum
> [mm]det(\overline{H}_{2})\bruch{1100}{3}[/mm] >0 also Maximum
Die Determinante der Hessematrix alleine entscheidet nicht über Max. bzw. Min,....
>
> ????
>
> Wie können denn zwei Maxima auftreten ohne, dass ich da
> ein Minimum habe? Oder hat sich irgendwo ein
> Rechen-/Denkfehler eingeschlichen, den ich übersehen
> habe?
Nochmal: die Determinante der Hessematrix alleine entscheidet nicht über Max. bzw. Min,....
>
Kurz und knackig kannst Du folgendermaßen eine Entscheidung herbeiführen:
Extremwertverdächtige Punkte sind also
a:=(-1,-4,18) und [mm] b:=(\bruch{5}{6}, \bruch{10}{3}, \bruch{25}{2}).
[/mm]
Merke Dir diese Bezeichnungen für später.
Die Menge E ist doch der Schnitt einer Ebene und eines Paraboloids.
E ist kompakt ! Weiter in f auf E stetig. Damit nimmt f auf E Minimum und Maximum an.
Es gibt also [mm] a_0, b_0 \in [/mm] E mit
[mm] $f(a_0)= \max [/mm] f(E)$ und [mm] $f(b_0)= \min [/mm] f(E)$.
Die obigen Rechnungen zeigen: [mm] \{a_0, b_0 \}=\{a,b\}
[/mm]
(a und b von oben !)
Nun rechnen wir: f(a)=18 und [mm] f(b)=\bruch{25}{2}
[/mm]
Nun ist 18 > [mm] \bruch{25}{2}, [/mm] somit haben wir:
[mm] a_0=a [/mm] und [mm] b_0=b.
[/mm]
FAZIT: f nimmt auf E im Punkt a sein absolutes Maximum an und f nimmt auf E im Punkt b sein absolutes Minimum an.
Weitere lokale Extremstellen von f in E gibt es nicht, denn anderenfalls hätten wir die mit dem Lagrange-Zirkus gefunden. Wir haben aber nur a und b gefunden.
2 Tipps:
1. Überprüfe immer die "Nebenbedingsmenge" auf Kompaktheit. Ist sie kompakt, so kannst Du, wie oben, mit der Stetigkeit von f argumentieren und einfach Funktionswerte vergleichen.
2. Du hast bei obigem Ansatz die Variable z eliminiert. Das war O.K.
Ich hab das nicht gemacht, sondern die Funktion L wie folgt gewählt:
$L(x,y,z, [mm] \lambda, \mu)=z+\lambda(z-2x^2-y^2)+\mu(x+2y+3z-45)$
[/mm]
Ich bin der Meinung, dass mit diesem L die Aufgabe einfacher zu rechnen ist. Probiers mal aus.
> DANKE für Eure Hilfe und einen schönen Start ins
> Pfingstwochenende
> Seb
Ebenso FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Fr 13.05.2016 | | Autor: | studiseb |
Einen ganz großen Dank für die Hilfe und deine Erklärungen, ich werde das mit deinem Tipp mal durchrechnen ... sollte ja das gleiche raus kommen 
Grüße Seb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 13.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Einen ganz großen Dank für die Hilfe und deine
> Erklärungen, ich werde das mit deinem Tipp mal
> durchrechnen ... sollte ja das gleiche raus kommen
Es kommt das gleiche raus, ich habs gerechnet.
FRED
>
> Grüße Seb
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