Extrema mit Nebenbedingung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:42 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich habe hier folgendes Problem:
"Sei $D = [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 | \frac{x^2}{2} + y^2 \le 3\}$ [/mm] und sei $f: D [mm] \to \IR [/mm] , f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] -x + 2y +3$.
Untersuchen Sie f auf globale Extrema."
Hier ist mein Ansatz:
1) Untersuchung auf singuläre Punkte:
[mm] $J_f(p,q) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2ü-1& 4q + 2\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (2p-1 = 0) [mm] \wedge [/mm] (4q+2 ) = 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Kritischer Punkt bei [mm] $\left(\frac{1}{2} , - \frac{1}{2} \right)$
[/mm]
Erfüllt der Punkt die Nebenbedingung?
[mm] $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{4}= \frac{3}{8} \le [/mm] 3$ stimmt.
[mm]H_f(p,q) = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0 & 4 \end{pmatrix}[/mm] ist positiv definit, also ein lokales Minimum bei [mm](\frac{1}{2} ,-\frac{1}{2} )[/mm]
2. Untersuchung auf reguläre Punkte:
Definiere $g: (x,y) [mm] \to \frac{x^2}{2} +y^2 [/mm] -3 $
Lagrangemultiplikator:
[mm] \begin{matrix}
\partial_x f(p,q) & = & \lambda \partial_x g(p,q) & (i)\\
\partial_y f(p,q) & = & \lambda \partial_y g(p,q) & (ii)\\
\frac{p^2}{2} +q^2 -3 &=&0 &(iii)\\
\end{matrix}[/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter, kann mir jemand das Gleichungssystem lösen oder sagen, wo ich nen Fehler habe?
Lieber Gruß,
Micha 
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Hallo Micha,
Du suchst Extremwerte auf dem Rand des Gebietes. Hierzu fände ich es einfache die Nebenbedingung direkt umzuformen (x= g(y) ggf. Fallunterscheidungen) und in die Funktion einzusetzen. der Lagrange Ansatz scheint mir hier ungeeignet.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo mathemaduenn!
Ich glaube das geht nicht, weil ich andere Extrema herausbekomme, wenn ich nach x auflöse, als
wenn ich das mal nach y auflöse. Das sollte doch nicht passieren, oder?
Ausserdem hatten wir das im Tutorium mit Lagrange, das muss doch auch gehen. *verzweifel
Trotzdem danke,
Gruß Micha
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Hallo Harthoman,
Lagrange geht sicher auch. Ich persönlich finde 1 Variable ist meist übersichtlicher als 3:
[mm]\frac{x^2}{2} + y^2 = 3 [/mm]
y= [mm] \pm \wurzel[2]{3-\frac{x^2}{2}}
[/mm]
f: D [mm] \to \IR [/mm] , f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] -x + 2y +3
[mm]f: D \cap\IR \to \IR , f(x) = x^2 + 2( \pm \wurzel[2]{3-\frac{x^2}{2}}) ^2 -x \pm 2\wurzel[2]{3-\frac{x^2}{2}} +3 [/mm]
f'=-1 [mm] \pm \frac{x}{\wurzel[2]{3-\frac{x^2}{2}}}
[/mm]
Fehler gefunden jetzt kommt auch hier Stefans Lösung raus
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Da ich hier seit $16$ Stunden vor der Kiste sitze, bin ich bestimmt unkonzentriert und habe mich verrechnet.
Dennoch will dir meine Lösungen nicht vorenthalten:
[mm] $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ [/mm] und [mm] $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
[/mm]
Eigentlich ließ sich das Gleichungssystem ganz leicht lösen.
Kannst du denn deine Rechenschritte mal bitte posten, so weit wie du gekommen bist?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Do 21.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
> [mm]\begin{matrix}
2p-1 &= &\lambda p\\
4q+2&=& \lambda 2q&&& \downarrow\cdot (-\frac{1}{2})\\
\frac{p^2}{2} +q^2 -3 &=&0 \\
\end{matrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und hier, denke ich, ist es besser nach $p$ und $q$ aufzulösen:
Aus der ersten Gleichung erhält man:
$p [mm] \cdot (2-\lambda) [/mm] = 1$,
also:
(**) $p = [mm] \frac{1}{2-\lambda}$.
[/mm]
Aus der zweiten Gleichung folgt:
$q [mm] \cdot (4-2\lambda) [/mm] = -2$,
also:
(***) $q = [mm] \frac{2}{2\lambda - 4}$.
[/mm]
Dies setzen wir nun beides in
[mm] $\frac{p^2}{2} +q^2 [/mm] -3=0 $
ein und erhalten:
[mm] $\frac{1}{2(2-\lambda)^2} [/mm] + [mm] \frac{4}{(2\lambda - 4)^2} [/mm] - 3=0$,
also:
[mm] $\frac{1}{2(2-\lambda)^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{(\lambda - 2)^2} [/mm] - 3=0$
und damit
[mm] $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(\lambda -2)^2} [/mm] = 3$.
Dies führt zu
[mm] $(\lambda -2)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$,
[/mm]
also:
[mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = 2 [mm] \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Setzt man dies in (**) und (***) ein (da kommen Weihnachtsgefühle auf  ), erhält man die besagten Lösungen
[mm] $(p_1,q_1) [/mm] = [mm] (-\sqrt{2},\sqrt{2})$
[/mm]
und
[mm] $(p_1,q_1) [/mm] = [mm] (\sqrt{2},+\sqrt{2})$.
[/mm]
Leider konnte ich deine Rechnung an einer Stelle nicht nachvollziehen, aber ich fürchte das liegt eher an meiner Müdigkeit.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Stefan!
Ich glaube da steckt ein Fehler drin, weil nämlich die Extrema bei [mm] $(-\sqrt{2}, \sqrt{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt{2}, [/mm] - [mm] \sqrt{2}$ [/mm] liegen.
(Das kann man leicht sehen, wenn man die Stellen bei f einsetzt.)
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Der Fehler steckte ganz am Ende, wo ich [mm] $\lambda$ [/mm] in $p$ und $q$ eingesetzt und dabei einen Vorzeichenfehler begangen habe. Danke, jetzt stimmt die komplette Rechnung.
Hast du sie denn nachvollziehen können und die Aufgabe jetzt verstanden?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Stefan!
Das mit dem Fehler hatte ich bei der Abgabe dann schon selbst korrigiert. Danke nochmal dass du das bestätigt hast. Die Aufgabe habe ich verstanden. Erstaunlicherweise verstehe ich die Sache mit den Extremwertberechnungen recht gut (weil ich vieles davon in VWL hatte), nur beim Gleichungssystem hatte ich Probleme, weil da die Nebenbedingung mit Quadraten war, was in VWL-Mikroökonomie so gut wie nie vorkommt, weil dort z.B. die Budgetbeschränkung
$m [mm] \ge p_1 x_1 [/mm] + [mm] p_2 x_2$ [/mm]
nichts mit Quadraten und so drin hatte, wodurch ich beim Gleichungssystem Schwierigkeiten bekam, weil halt nicht linear is. Mir fehlt da einfach noch die Übung und manchmal auch der "mathematische Blick".
Danke dir und den anderen Helfern,
Gruß Micha
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
