Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion $f(x,y) = [mm] e^{2x-y}$ [/mm] unter der Nebenbedingung $xy + 2 = 0$
durch
(a) explizites Auf ösen der Nebenbedingung und Einsetzen in f
(b) mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren. |
Hallo!
a)
$F(x,y) = [mm] e^{2x-y}$
[/mm]
NB: $xy + 2 = 0$
Ich hab mal die Nebenbedingung nach $y$ aufgelöst.
Dann erhalte ich folgendes:
NB: $y = [mm] -\bruch{2}{x}$
[/mm]
Eingesetzt in $F$:
$f(x) = [mm] F(x,-\bruch{2}{x}) [/mm] = [mm] e^{2x+\bruch{2}{x}}$
[/mm]
Für die Extrema leite ich dich die Funktion $f(x)$ einmal ab:
[mm] $f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] (2-\bruch{2}{x^{2}})e^{2x+\bruch{2}{x}}$
[/mm]
Ich wollte nun [mm] $f^{(1)}(x)$ [/mm] nullsetzen um die Extrema zu bestimmen. Nur macht mir die $e$ Funktion zu schaffen.
Wie rechne ich damit?
Ich hätte nur die Idee die Taylorentwicklung für $e$ einzusetzen, aber da muss es doch noch eine andere Möglichkeit geben oder?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
> Für die Extrema leite ich dich die Funktion [mm]f(x)[/mm] einmal
> ab:
> [mm]f^{(1)}(x) = (2-\bruch{2}{x^{2}})e^{2x+\bruch{2}{x}}[/mm]
>
> Ich wollte nun [mm]f^{(1)}(x)[/mm] nullsetzen um die Extrema zu
> bestimmen. Nur macht mir die [mm]e[/mm] Funktion zu schaffen.
> Wie rechne ich damit?
>
> Ich hätte nur die Idee die Taylorentwicklung für [mm]e[/mm]
> einzusetzen, aber da muss es doch noch eine andere
> Möglichkeit geben oder?
>
> Lg
Wie wärs mit x=1, x= -1 ?
Die e-Funktion wird nie Null, also muss der Koeffizient verschwinden... lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
> Für die Extrema leite ich dich die Funktion [mm]f(x)[/mm] einmal
> ab:
> [mm]f^{(1)}(x) = (2-\bruch{2}{x^{2}})e^{2x+\bruch{2}{x}}[/mm]
>
> Ich wollte nun [mm]f^{(1)}(x)[/mm] nullsetzen um die Extrema zu
> bestimmen. Nur macht mir die [mm]e[/mm] Funktion zu schaffen.
> Wie rechne ich damit?
>
> Ich hätte nur die Idee die Taylorentwicklung für [mm]e[/mm]
> einzusetzen, aber da muss es doch noch eine andere
> Möglichkeit geben oder?
>
> Lg
Wie wär's mit x=1, x=-1 ?
Die e-Funktion wird nie Null, also muss der Koeffizient verschwinden... lg
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:40 Do 02.06.2011 | | Autor: | dreamweaver |
Danke!
EDIT: HAT SICH ERLEDIGT!
nun zu b)
[mm] $f(x,y)=e^{2x-y}$
[/mm]
$g(x,y)=xy+2$
Die Funktion für die Methode der Lagrange Multiplikatoren lautet folgendermaßen:
[mm] $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] g(x,y)$
Dann bilde ich den Gradienten von $F$:
[mm] $F_{x}=2e^{2x-y}+\lambda [/mm] y = 0$
[mm] $F_{y}=-e^{2x-y}+\lambda [/mm] x = 0$
[mm] $F_{\lambda}=xy+2 [/mm] = 0$
EDIT: HAT SICH ERLEDIGT!
Lg
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