Extrema mit Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit der Lagrangemethode auf [mm] \IR^{2} [/mm] die globalen Extrema
von f(x,y) := [mm] x^{2}-2(y+1)^{2} [/mm] unter der Nebenbedingung g(x,y) := [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] -1 = 0 |
Hallo...also die Lagrangefunktion ist ja so definiert:
Die zu (f,g) gehörige Lagrangefunktion ist definiert als:
L: A x [mm] \IR^{q} [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
(x, [mm] \lambda_{1},....,\lambda_{q}) [/mm] -> f(x) + [mm] \summe_{i=1}^{q}\lambda_{i}*g_{i}(x)
[/mm]
mein A ist ja [mm] \IR^{2} [/mm] weil ich jeweils bei f und g von [mm] \IR^{2} [/mm] auf [mm] \IR [/mm] abbilde. Nur was ist q? Und was hilft mir die Defnition überhaupt?Wie kann ich die auf das Bsp. anwenden...steh total an....kann mir wer helfen?
mfg,
Hannes
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Hallo und guten Morgen,
Dein q ist 1, die Anzahl der Nebenbedingungen, und [mm] g_1=g.
[/mm]
Alles klar soweit ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:15 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo...eigentlich nicht....
Also versteht man unter "die globalen Extrema unter der Nebenbedingung"
generell mit Nebenbedingung eine Einschränkung der Menge, wo wir ein globales Extremum suchen dürfen?
Also bei dem Bsp. suchen wir praktisch nur die Extrempkte auf der Menge:
{(x,y) [mm] \in \IR^{2}:g(x,y) [/mm] = 0} oder?
Jetzt überprüf ich mal ob die Extrempunkte auf der Menge überhaupt existieren können....da die Ellipse kompakt ist und ein Satz besagt dass
wenn
Vor.:Sei A kompakt
Beh.:Dann gilt:
f:A -> [mm] \IR [/mm] stetig --> f nimmt in mindestens einen Pkt. von A das globale Max. und das globale Min. an
Aber bei uns ist ja das Bild kompakt?..und nicht das Urbild...wozu brauch ich dann die Kompaktheit der Menge? (weiß dass das Bsp. so gehen muss weil ein "ähnliches,aber nicht gleiches" im Skript steht) Was ist wenn die Menge nicht kompakt ist...kann ich dann gleich aufhören?
Wie die Lagrangefunktion ausschaut weiß ich nun (nur was bringt mir die?)
L(x,y, [mm] \lambda) [/mm] = [mm] x^{2}-2*(y+1)^{2}+ \lambda*(x^{2}+4y^{2}-1)
[/mm]
So...und jetzt kommt ein Satz in unserem Skript zu tragen (glaub ich) von dem ich aber nicht recht weiß was mir die Behauptung bringt.....kapiers also noch nicht so wirklich....der Satz lautet:
Vor.:Seien A [mm] \subseteq \IR^{p} [/mm] offen,f:A-> [mm] \IR [/mm] und [mm] g:A->\IR^{q}stetig [/mm] differenzierbar, q < p, [mm] x_{0} \in [/mm] A Stelle eines lokalen Extremums von f unter der Nebenbedingung g(x) = 0 und rg [mm] g'(x_{0})=q. [/mm] Sei L die Lagrangefkt. zu (f,g)
Beh.: Dann gilt [mm] \exists \lambda [/mm] = ( [mm] \lambda_{1},...., \lambda_{q})\in \IR^{q}:gradL(x_{0}, \lambda) [/mm] = 0
.....in dem Bsp. wurde halt dann der Rang der Jakobimatrix von g bestimmt....deshalbt glaub ich das dieser Satz zum Trag kommt....aber was ist mit den anderen Vorraussetzungen des Satzen...was ist da mein p in dem Bsp...ich bitte um Hilfe....
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 27.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo und guten Morgen,
schauen wir nochmal drüber.
> Also versteht man unter "die globalen Extrema unter der
> Nebenbedingung"
> generell mit Nebenbedingung eine Einschränkung der Menge,
> wo wir ein globales Extremum suchen dürfen?
Ja, genau.
> Also bei dem Bsp. suchen wir praktisch nur die Extrempkte
> auf der Menge:
> {(x,y) [mm]\in \IR^{2}:g(x,y)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0} oder?
Richtig. Das sind dann aber nicht notwendig globale Extrema, d.h mit Gradient gleich 0.
Es gab mal vor kurzem in irgendeinem Strang dazu eine Beschreibung der Intuition, die Du im übrigen
bei Wikipedia auch findest: Wenn man in dem Gebiet g(x,y)=0 (g ist die Nebenbedingungsfunktion)
entlangwandert, bewegt man sich, wenn wir uns mal fuer einen Moment vorstellen, dass dieses Gebiet eindimensional ist,
sozusagen lokal immer in Richtung des Gradienten. Dies kann nur dann nicht zu einer Verbesserung des Funktionswertes f(x,y) führen,
wenn der Gradient von f in dieselbe Richtung zeigt.
> Jetzt überprüf ich mal ob die Extrempunkte auf der Menge
> überhaupt existieren können....da die Ellipse kompakt ist
> und ein Satz besagt dass
> wenn
> Vor.:Sei A kompakt
> Beh.:Dann gilt:
> f:A -> [mm]\IR[/mm] stetig --> f nimmt in mindestens einen Pkt.
> von A das globale Max. und das globale Min. an
>
> Aber bei uns ist ja das Bild kompakt?..und nicht das
> Urbild...wozu brauch ich dann die Kompaktheit der Menge?
> (weiß dass das Bsp. so gehen muss weil ein "ähnliches,aber
> nicht gleiches" im Skript steht) Was ist wenn die Menge
> nicht kompakt ist...kann ich dann gleich aufhören?
> Wie die Lagrangefunktion ausschaut weiß ich nun (nur was
> bringt mir die?)
> L(x,y, [mm]\lambda)[/mm] = [mm]x^{2}-2*(y+1)^{2}+ \lambda*(x^{2}+4y^{2}-1)[/mm]
>
Also wenn zB die Funktion eindimensional ist und Du zB durch die Nebenbed. einen Bereich (a,b) hast, kann ja
trotzdem ein Extremum im Inneren angenommen werden. Nur wenn sozusagen die Fkt. f zu den Rändern hin ''ansteigt'', so gibt es
kein Maximum im DefBereich.
> So...und jetzt kommt ein Satz in unserem Skript zu tragen
> (glaub ich) von dem ich aber nicht recht weiß was mir die
> Behauptung bringt.....kapiers also noch nicht so
> wirklich....der Satz lautet:
>
> Vor.:Seien A [mm]\subseteq \IR^{p}[/mm] offen,f:A-> [mm]\IR[/mm] und
> [mm]g:A->\IR^{q}stetig[/mm] differenzierbar, q < p, [mm]x_{0} \in[/mm] A
> Stelle eines lokalen Extremums von f unter der
> Nebenbedingung g(x) = 0 und rg [mm]g'(x_{0})=q.[/mm] Sei L die
> Lagrangefkt. zu (f,g)
> Beh.: Dann gilt [mm]\exists \lambda[/mm] = ( [mm]\lambda_{1},...., \lambda_{q})\in \IR^{q}:gradL(x_{0}, \lambda)[/mm]
> = 0
>
Hier ist das [mm] g\colon A\to\IR^q [/mm] die Nebenbed.Funktion , d.h. Du kannst es auch auffassen als q versch. Funktionen
[mm] g_i\colon A\to\IR, \: 1\leq i\leq [/mm] q
und es ist
[mm] L(x,\lambda) [/mm] = [mm] f(x)+\sum_{i=1}^q \lambda_i\cdot g_i(x)
[/mm]
Du erhältst als notw. bed. fuer ein Extremum an der Stelle [mm] x_0\in [/mm] A, dass das GlSys. in den Variablen [mm] \lambda_i,1\leq i\leq [/mm] q
[mm] \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)\:\: =\:\: -\sum_{k=1}^q\: \lambda_k\cdot \frac{\partial g_k}{\partial x_i}(x_0),\:\: 1\leq i\leq [/mm] p
eine Loesung hat, und da kommt die Rangbedingung im von Dir zitierten Satz zu tragen: Man benoetigt hier einfach eine Aussage fuer die Loesbarkeit
des LGS.
> .....in dem Bsp. wurde halt dann der Rang der Jakobimatrix
> von g bestimmt....deshalbt glaub ich das dieser Satz zum
> Trag kommt....aber was ist mit den anderen Vorraussetzungen
> des Satzen...was ist da mein p in dem Bsp...ich bitte um
> Hilfe....
>
Also hier ist [mm] A=\{(x,y)\in\IR^2\: |\: g(x,y)=0\} [/mm] und somit p=2.
Bilde die partiellen Ableitungen
[mm] \frac{\partial f}{\partial x}= [/mm] 2x, [mm] \: \frac{\partial f}{\partial y}=-4(y+1)
[/mm]
[mm] \frac{\partial g}{\partial x}=2x,\: \frac{\partial g}{\partial y}=8y
[/mm]
und wir erhalten das LGS
[mm] 2x=-\lambda\cdot 2x,\:\: -4(y+1)=-\lambda\cdot [/mm] 8y
Die erste Gl. liefert in jedem Fall [mm] \lambda=-1 [/mm] oder x=0.
Fuer den Fall [mm] x\neq [/mm] 0 setzen wir [mm] \lambda [/mm] =-1 in die zweite Gl ein und erhalten
-4(y+1)= [mm] 8y\:\: \Leftrightarrow\:\: 12y=-4\;\: \Leftrightarrow\:\: y=-1\slash [/mm] 3.
Setzen wir das in dei NB ein: [mm] x^2-2\cdot (4\slash 3)^2=0, [/mm] also
[mm] x^2= 2\cdot 16\slash [/mm] 9, [mm] \:\: x=\pm \frac{4\cdot \sqrt{2}}{3}
[/mm]
Und so rechnet man weiter und bestimmt die Kandidaten fuer Extrema.
Gruss,
Mathias
> mfg,
> Hannes
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